- Um dado é formado de chapas de plástico de
. O número médio de defeitos por metro quadrado de plástico é 50. (i) Qual a probabilidade de que uma determinada face apresente exatamente um defeito? (ii) Qual a probabilidade de que o dado apresente no mínimo dois defeitos? (iii) Qual a probabilidade de que pelo menos cinco faces sejam perfeitas? (iv) Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma do ponto com o número de defeitos da face obtida seja menor do que três?
Passo 1
O enunciado diz que cada face do dado tem área de 10 cm × 10 cm = 0,01 m² e que, em média, surgem 50 defeitos por metro quadrado. Como defeitos isolados costumam ser modelados por Poisson, cada face tem número de defeitos X ∼ Poisson(λ) com λ = 50 defeitos/m² ⋅ 0,01 m² = 0,5.
Passo 2
Primeiro item: probabilidade de exatamente um defeito em uma face. Para X ∼ Poisson(0,5) vale
Passo 3
Segundo item: número total de defeitos no dado é soma de 6 Poisson(0,5), logo é Poisson(6⋅0,5=3). Queremos P(total ≥ 2). Assim
Passo 4
Terceiro item: probabilidade de pelo menos 5 faces perfeitas (0 defeitos). Cada face é perfeita com p = P(X=0) = e^{-0,5}. Em 6 faces, o número de perfeitas segue Binomial(6,p). Então
Passo 5
Quarto item: ao lançar o dado, escolhe-se uma face com valor Y uniformemente em {1,…,6} e defeitos X ∼ Poisson(0,5) independentes. Queremos P(Y+X<3). Só Y=1 ou 2 permitem soma ❤️. Assim
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)