1. Um dado é formado de chapas de plástico de 10 times 10 cm. O número médio de defeitos por metro quadrado de plástico é 50. (i) Qual a probabilidade de que uma determinada face apresente exatamente um defeito? (ii) Qual a probabilidade de que o dado apresente no mínimo dois defeitos? (iii) Qual a probabilidade de que pelo menos cinco faces sejam perfeitas? (iv) Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma do ponto com o número de defeitos da face obtida seja menor do que três?

Passo 1

O enunciado diz que cada face do dado tem área de 10 cm × 10 cm = 0,01 m² e que, em média, surgem 50 defeitos por metro quadrado. Como defeitos isolados costumam ser modelados por Poisson, cada face tem número de defeitos X ∼ Poisson(λ) com λ = 50 defeitos/m² ⋅ 0,01 m² = 0,5.

Passo 2

Primeiro item: probabilidade de exatamente um defeito em uma face. Para X ∼ Poisson(0,5) vale
P(X=1)=e^-0,5(0,5)^11!=0,5,e^-0,5

Passo 3

Segundo item: número total de defeitos no dado é soma de 6 Poisson(0,5), logo é Poisson(6⋅0,5=3). Queremos P(total ≥ 2). Assim
P(N>=2)=1 - P(N=0)-P(N=1) = 1 - e^-3l(1+3r) = 1 - 4e^-3

Passo 4

Terceiro item: probabilidade de pelo menos 5 faces perfeitas (0 defeitos). Cada face é perfeita com p = P(X=0) = e^{-0,5}. Em 6 faces, o número de perfeitas segue Binomial(6,p). Então
P(≥5 perfeitas) = binom65p^5(1-p) + p^6 = binom65(e^-0,5)^5(1-e^-0,5) + (e^-0,5)^6

Passo 5

Quarto item: ao lançar o dado, escolhe-se uma face com valor Y uniformemente em {1,…,6} e defeitos X ∼ Poisson(0,5) independentes. Queremos P(Y+X<3). Só Y=1 ou 2 permitem soma ❤️. Assim
P=sumy=1^2P(Y=y)Pl(X<3-yr) =tfrac16l[P(X≤1)+P(X=0)r] =tfrac16l[l(e^-0,5(1+0,5)r)+e^-0,5r] =tfrac512e^-0,5

Resposta

(i) 0.5,e^-0.5 (ii) 1 - 4e^-3 (iii) binom65(e^-0.5)^5(1-e^-0.5) + (e^-0.5)^6 (iv) tfrac512e^-0.5

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