1. Suponha que uma caixa contenha 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Faz-se duas repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma bola da caixa. Seja X o maior entre os dois números observados. Determine a função de probabilidade, a expectância, o desvio padrão, a assimetria e a curtose bem como a fgm.

Passo 1

O enunciado diz que tiramos duas bolas com reposição de uma caixa com 6 bolas numeradas de 1 a 6 e definimos a variável aleatória X como o maior número observado. Vamos precisar de probabilidade de máximo em amostras independentes, cálculo de momentos e definição de função geradora de momentos.

Passo 2

Para achar a função de probabilidade de X usamos a ideia de máximo. Para k=1,2,…,6: P(X≤k)=P(ambas as bolas ≤k)=(k/6)². Logo
P(X=k)=P(X<= k)-P(X<= k-1)=l(k6r)^2-l(k-16r)^2=2k-136, k=1,2,dots,6

Passo 3

A esperança é E[X]=∑_{k=1}^6 k·P(X=k). Calculamos
E[X]=sumk=1^6 k2k-136=136sumk=1^6(2k^2-k)=16136approx4.4722

Passo 4

Para o desvio padrão precisamos de Var(X)=E[X2]−(E[X])2. Primeiro
E[X^2]=sumk=1^6k^22k-136=79136approx21.9722
Então
Var(X)=79136-l(16136r)^2=25551296approx1.9716,sigma=raizVar(X)approx1.4034

Passo 5

Para a assimetria (skewness) calculamos o momento central de ordem 3:
E[X^3]=sumk=1^6k^32k-136=410936approx114.1389,
mu3=E[(X-mu)^3]=E[X^3]-3mu E[X^2]+2mu^3approx-1.759,
gamma1=mu3sigma^3approx-1.759(1.4034)^3approx-0.633

Passo 6

Para a curtose calculamos o momento central de ordem 4:
E[X^4]=sumk=1^6k^42k-136=2212736approx614.64,
mu4=E[(X-mu)^4]=E[X^4]-4mu E[X^3]+6mu^2E[X^2]-3mu^4approx7.555,
beta2=mu4sigma^4approx7.555(1.4034)^4approx1.943,curtose excess=beta2-3approx-1.057

Passo 7

A função geradora de momentos (fgm) de X é
MX(t)=E[e^tX]=sumk=1^6e^tk2k-136

Resposta

P(X=k)=(2k−1)/36, k=1,…,6; E[X]=161/36≈4.4722; σ≈1.4034; assimetria≈−0.633; curtose excess≈−1.057; fgm M_X(t)=\n(1/36)∑_{k=1}6(2k−1)e{tk}.

Exercícios relacionados