- Suponha que uma caixa contenha 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Faz-se duas repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma bola da caixa. Seja
o maior entre os dois números observados. Determine a função de probabilidade, a expectância, o desvio padrão, a assimetria e a curtose bem como a fgm.
Passo 1
O enunciado diz que tiramos duas bolas com reposição de uma caixa com 6 bolas numeradas de 1 a 6 e definimos a variável aleatória X como o maior número observado. Vamos precisar de probabilidade de máximo em amostras independentes, cálculo de momentos e definição de função geradora de momentos.
Passo 2
Para achar a função de probabilidade de X usamos a ideia de máximo. Para k=1,2,…,6: P(X≤k)=P(ambas as bolas ≤k)=(k/6)². Logo
Passo 3
A esperança é E[X]=∑_{k=1}^6 k·P(X=k). Calculamos
Passo 4
Para o desvio padrão precisamos de Var(X)=E[X2]−(E[X])2. Primeiro
Então
Passo 5
Para a assimetria (skewness) calculamos o momento central de ordem 3:
Passo 6
Para a curtose calculamos o momento central de ordem 4:
Passo 7
A função geradora de momentos (fgm) de X é
Resposta
P(X=k)=(2k−1)/36, k=1,…,6; E[X]=161/36≈4.4722; σ≈1.4034; assimetria≈−0.633; curtose excess≈−1.057; fgm M_X(t)=\n(1/36)∑_{k=1}6(2k−1)e{tk}.