Dado a função f(x), os números L e a e sabendo que lim x a f(x)=L, determine o valor de de para cada epsilon dado, tal que
se 0<|x-a|ã
ll 1 lim x 3(2 x+4)=10 ; epsilon=0,01 & 3 lim x 2(x^2)=4 ; epsilon=0,001 2 lim x 1(5 x-3)=2 ; epsilon=0,05 & 4 lim x 2(x^2-2 x+1)=1 ; epsilon=0,001

Passo 1

Temos quatro limites de funções polinomiais e queremos, para cada caso, encontrar de em função de epsilon de modo que 0<|x-a| implique |f(x)-L|. Vamos usar a definição epsilon- de de limite e, para funções lineares, simplificar diretamente. Para funções quadráticas, vamos fatorar e restringir x a uma vizinhança de a para controlar termos adicionais.

Passo 2

Para f(x)=2x+4, a=3, L=10:
|f(x)-L| = |2x+4 -10| = |2x -6| = 2|x-3|
Para garantir 2|x-3| basta ter |x-3|. Então escolhemos de. Com epsilon=0,01, temos de.

Passo 3

Para f(x)=5x-3, a=1, L=2:
|f(x)-L| = |5x-3 -2| = |5x -5| = 5|x-1|
Logo, |x-1| basta. Então de. Com epsilon=0,05, de.

Passo 4

Para f(x)=x^2, a=2, L=4:
|f(x)-L| = |x^2 -4| = |x-2||x+2|
Queremos |x-2||x+2| < epsilon. Limitar |x-2|<1 nos dá 1 e então |x+2|<5. Assim
|x^2-4| < 5|x-2| < epsilon Rightarrow |x-2| < epsilon/5
Para satisfazer também |x-2|<1, escolhemos de. Com epsilon=0,001, epsilon/5=0,0002, logo de.

Passo 5

Para f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2, a=2, L=1:
|f(x)-L| = |(x-1)^2 -1| = |x-2||x|
Restrinjamos |x-2|<1 para ter |x|<3. Então
|f(x)-1| < 3|x-2| < epsilon Rightarrow |x-2|
Escolhemos de. Com epsilon=0,001, epsilon/3approx0,000333, logo de (ou 1/3000).

Resposta

de

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