Dado a função f(x)=x^n, x in[0, L] seja fE a seguinte extensão de f à reta toda
fE(x)=l f(x), se 0<x <= L f(2 L-x), se L <= x<2 L fE(-x)=-fE(x), se -2 L<x<0 fE(x)=0, se x in-2 L, 0,2 L fE(4 L+x)=fE(x), forall x
Dtermine a Série de Fourier de fE para os casos n=1 e n=2.

Passo 1

O enunciado dá a função ,f(x)=x^n em [0,L] e a estende periodicamente com período 4L de modo que fE seja ímpar em [-2L,2L]. Como fE é ímpar e de período T=4L, sua Série de Fourier não tem termos em cosseno nem termo constante, apenas senos do tipo sinl(komega0xr), com omega0=2piT=pi2L.

Passo 2

Para funções ímpares de período 4L, a série é
fE(x)=sumk=1^infty bksin!l(k,pi2Lxr),
com
bk=22Lintegral-2L^2LfE(x)sin!l(k,pi2Lxr),dx =1Lintegral-2L^2LfE(x)sin!l(k,pi2Lxr),dx
Usando a simetria ímpar e o fato de, em [0,2L], fE(x)=x^n para 0<x<= L e fE(x)=(2L-x)^n para L<= x<2L, mostra-se que bk=0 se k é par, e para k=2m-1
b2m-1 =2Lintegral0^Lx^nsin!l((2m-1)tfracpi2Lxr),dx

Passo 3

Caso n=1, seja alpha=(2m-1)pi2L. Por partes,
integral0^L xsin(alpha x),dx =l[-tfracxcos(alpha x)alpha+tfracsin(alpha x)alpha^2r]0^L =sin(alpha L)alpha^2,
mas alpha L=(2m-1)tfracpi2 implica sin(alpha L)=(-1)^m-1. Logo
b2m-1 =2L(-1)^m-1alpha^2 =2L(-1)^m-1l((2m-1)tfracpi2Lr)^2 =8Lpi^2(2m-1)^2(-1)^m-1
Portanto, para n=1,
fE(x) =summ=1^infty8Lpi^2(2m-1)^2(-1)^m-1 sin!l((2m-1)tfracpi2Lxr)

Passo 4

Caso n=2, com o mesmo alpha, faz-se integração por partes duas vezes e obtém-se
integral0^L x^2sin(alpha x),dx =2L(-1)^m-1alpha^2-2alpha^3
Dessa forma
b2m-1 =2Ll(2L(-1)^m-1alpha^2-2alpha^3r) =16L^2(-1)^m-1pi^2(2m-1)^2 -32L^21pi^3(2m-1)^3
Logo, para n=2,
fE(x) =summ=1^inftyl[ 16L^2(-1)^m-1pi^2(2m-1)^2 -32L^21pi^3(2m-1)^3 r] sin!l((2m-1)tfracpi2Lxr)

Resposta

Para n=1:
fE(x) =summ=1^infty8Lpi^2(2m-1)^2(-1)^m-1 sin!l((2m-1)tfracpi2Lxr)
Para n=2:
fE(x) =summ=1^inftyl[ 16L^2(-1)^m-1pi^2(2m-1)^2 -32L^21pi^3(2m-1)^3 r] sin!l((2m-1)tfracpi2Lxr)

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