Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
y^prime prime+lambda^2 y=0 com y(0)=0=y^prime(3 pi);

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Sturm–Liouville
y'' + lambda^2 y = 0
com as condições de contorno
y(0)=0, y'(3pi)=0
O conteúdo principal aqui é a resolução da EDO linear de segunda ordem homogênea e a imposição das condições de contorno para quantizar o parâmetro lambda.

Passo 2

Escrevemos a solução geral da EDO
y(x) = Acos(lambda x) + Bsin(lambda x)
Impondo y(0)=0 temos
y(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A=0,
logo
y(x)=Bsin(lambda x)

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(x)=B,lambdacos(lambda x)
e aplicamos y'(3pi)=0, obtendo
B,lambdacos(3pilambda)=0
Para ter solução não-trivial (isto é, Bneq0 e lambdaneq0) exigimos
cos(3pilambda)=0 Longrightarrow 3pilambda = (2n+1)pi2,
com n=0,1,2,dots.

Passo 4

Dessa condição segue
lambdan = 2n+16, n=0,1,2,dots
e as autofunções associadas, à constante de normalização B fixa, são
yn(x) = sinl(lambdan xr) = sin!l(2n+16,xr)

Resposta

lambdan = 2n+16,;n=0,1,2,dots
yn(x) = sin!l(2n+16,xr)

Exercícios relacionados