Encontre a série de Fourier complexa da função 2 pi-periódica f(x), com f(x)=e^x,-pi <= x<pi.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier complexa de período 2pi da função que em -pi<= x<pi vale
f(x)=e^x
Para isso, vamos usar a definição dos coeficientes complexos
cn = 12pi integral-pi^pi f(x),e^-i n x,dx,
e em seguida montar
f(x)=sumn=-infty^infty cn,e^i n x

Passo 2

Aplicando a definição com f(x)=e^x, temos
cn = 12pi integral-pi^pi e^x ,e^-i n x,dx = 12pi integral-pi^pi e^(1 - i n),x,dx

Passo 3

Essa integral é uma exponencial simples. Calculamos
integral-pi^pi e^(1 - i n)x,dx = [e^(1 - i n)x1 - i n]x=-pi^x=pi = e^(1 - i n)pi-e^-(1 - i n)pi1 - i n

Passo 4

No numerador note que
e^(1 - i n)pi-e^-(1 - i n)pi = e^pie^-i npi-e^-pie^i npi = (-1)^nl(e^pi-e^-pir)
Logo
cn = 12pi,(-1)^nl(e^pi-e^-pir)1 - i n = (-1)^n,2sinh(pi)2pi,(1 - i n) = (-1)^n,sinh(pi)pi,(1 - i n)

Passo 5

Portanto a série de Fourier complexa fica
f(x)=sumn=-infty^infty cn,e^i n x com cn = (-1)^n,sinh(pi)pi,(1 - i n)

Resposta

boxedf(x)=sumn=-infty^infty (-1)^n,sinh(pi)pi,(1 - i n),e^i n x

Exercícios relacionados