Mostre que, quando
, vale a igualdade
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
quando estendida periodicamente de período
, tem a série de Fourier
O conteúdo que vamos usar é o cálculo dos coeficientes de Fourier para funções de período
:
com
e
Passo 2
Calcular
:
Logo
Passo 3
Calcular
. Primeiro observe que
pois
é ímpar e
é par. Assim
Chamando
e integrando por partes duas vezes, chega-se a
Multiplicando por
e substituindo
, usando
e
, obtemos
Passo 4
Calcular
. Aqui
pois
é par e
é ímpar. Resta
De novo por partes, com
, encontra-se
e como
, vem
Passo 5
Agora juntamos na forma canônica da série de Fourier de período
:
Fatorando
e reagrupando, obtemos exatamente
Resposta
Mostrou-se que, para
, vale