Mostre que, quando -1<x<1, vale a igualdade
x+x^2=13+2pi sumn=1^+infty(-1)^n(2n^2 pi cos (n pi x)-1n sen(n pi x))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x+x^2, -1<x<1,
quando estendida periodicamente de período 2, tem a série de Fourier
f(x)=13+2pisumn=1^infty(-1)^nl(2n^2picos(npi x)-1nsen(npi x)r)
O conteúdo que vamos usar é o cálculo dos coeficientes de Fourier para funções de período 2:
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsen(npi x)r),
com
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sen(npi x),dx,
e
a0=integral-1^1f(x),dx

Passo 2

Calcular a0:
a0=integral-1^1(x+x^2),dx =integral-1^1x,dx+integral-1^1x^2,dx =0+23 =23
Logo
a02=13

Passo 3

Calcular an. Primeiro observe que
integral-1^1xcos(npi x),dx=0
pois x é ímpar e cos(npi x) é par. Assim
an =integral-1^1x^2cos(npi x),dx =2integral0^1x^2cos(npi x),dx
Chamando A=npi e integrando por partes duas vezes, chega-se a
integral0^1x^2cos(Ax),dx =(A^2-2)sen AA^3+2cos AA^2
Multiplicando por 2 e substituindo A=npi, usando sen(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, obtemos
an =4,(-1)^nn^2pi^2

Passo 4

Calcular bn. Aqui
integral-1^1x^2sen(npi x),dx=0
pois x^2 é par e sen(npi x) é ímpar. Resta
bn =integral-1^1xsen(npi x),dx =2integral0^1xsen(npi x),dx
De novo por partes, com A=npi, encontra-se
integral0^1xsen(Ax),dx =-cos AA,
e como cos(npi)=(-1)^n, vem
bn =2cdotl(-(-1)^nnpir) =2(-1)^n+1npi

Passo 5

Agora juntamos na forma canônica da série de Fourier de período 2:
f(x)=a02 +sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsen(npi x)r) =13 +sumn=1^inftyl(4(-1)^nn^2pi^2cos(npi x) +2(-1)^n+1npisen(npi x)r)
Fatorando tfrac2pi e reagrupando, obtemos exatamente
x+x^2 =13 +2pisumn=1^infty(-1)^nl(2n^2picos(npi x)-1nsen(npi x)r)

Resposta

Mostrou-se que, para -1<x<1, vale
x+x^2 =13 +2pisumn=1^infty(-1)^nl(2n^2picos(npi x)-1nsen(npi x)r)

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