Seja f a função 2-periódica dada por
f(x)=l cos (pi x), se 0<x<1 0, se 1<x<2 f(0)=12 e f(1)=-12 f(x+2)=f(x) para todo x in R
mostre que vale a igualdades
f(x)=12 cos (pi x)+4pi sumn=1^+infty n4 n^2-1 sen(2 n pi x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função periódica de período
com e extensão . Queremos a série de Fourier de período na forma
onde as fórmulas para os coeficientes são
A partir daí, vamos calcular cada coeficiente.

Passo 2

Calculemos o termo constante
a0=12integral0^2f(x),dx =12integral0^1cos(pi x),dx =12l[sin(pi x)pir]0^1 =12,sinpi-0pi =0

Passo 3

Agora an para n>=1:
an=integral0^2f(x)cos(npi x),dx =integral0^1cos(pi x)cos(npi x),dx
Usando a identidade de produto para cossenos,
cos(pi x)cos(npi x) =12l[cos((n+1)pi x)+cos((n-1)pi x)r],
temos
an =12integral0^1cos((n+1)pi x),dx +12integral0^1cos((n-1)pi x),dx
Mas integral0^1cos(kpi x),dx=0 para todo inteiro kneq0, e vale 1 se k=0. Assim o termo não nulo só ocorre quando n-1=0, isto é n=1, dando
an= tfrac12,&n=1, 0,&nneq1

Passo 4

Finalmente
Usando a identidade
obtemos
Cada integral vale
í
Para são pares e . Para par, digamos , ambos e são ímpares, então

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
f(x) = a0+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r) =tfrac12cos(pi x) +summ=1^infty4mpi(4m^2-1)sin(2mpi x)
Escrevendo 4mpi(4m^2-1)=4pi,m4m^2-1, obtemos exatamente
boxed f(x)=12cos(pi x)+4pisumn=1^inftyn4n^2-1,sin(2npi x)

Resposta

f(x)=12cos(pi x)+4pisumn=1^+inftyn4n^2-1,sin(2npi x)

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