Seja
a função 2-periódica dada por
mostre que vale a igualdades
f(x)=12 cos (pi x)+4pi sumn=1^+infty n4 n^2-1 sen(2 n pi x)
Passo 1
O enunciado nos dá a função periódica de período
com e extensão
. Queremos a série de Fourier de período
na forma
onde as fórmulas para os coeficientes são
A partir daí, vamos calcular cada coeficiente.
Passo 2
Calculemos o termo constante
Passo 3
Agora
an para
n>=1 :
Usando a identidade de produto para cossenos,
temos
Mas
integral0^1cos(kpi x),dx=0 para todo inteiro
kneq0 , e vale
1 se
k=0 . Assim o termo não nulo só ocorre quando
n-1=0 , isto é
n=1 , dando
Passo 4
Finalmente
Usando a identidade
obtemos
Cada integral vale
Para são pares e
. Para
par, digamos
, ambos
e
são ímpares, então
Passo 5
Reunindo tudo, a série de Fourier fica
Escrevendo
4mpi(4m^2-1)=4pi,m4m^2-1 , obtemos exatamente