Use o método de substituição para calcular as integrais dadas:
\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular \r \displaystyle \int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} \, dx \r
usando o método de substituição. Vamos explorar que a derivada de \ln(x) aparece no integrando.

Passo 2

Fazemos a troca \r \displaystyle u = \ln(x). \r
Então \r \displaystyle du = \frac{1}{x}\,dx, \r
ou seja \displaystyle \frac{dx}{x}=du. \r
Para os limites: se x=e então u=1; se x=e^{4} então u=4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos \r
\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln(x)}} \, dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \int_{1}^{4} u^{-1/2} \, du. \r
Sabemos que o antiderivado de u^{-1/2} é 2u^{1/2}.

Passo 4

Avaliamo-lo entre u=1 e u=4: \r
2u^{1/2}\Big|_{1}^{4} =2\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{1}\bigr) =2(2-1) =2.

Resposta

2

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