Questão 2. Usando o Cálculo, determine a área do triângulo de vértices A=(0,1), B=(5,6) e C=(8,3).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área do triângulo com vértices
A=(0,1),\quad B=(5,6),\quad C=(8,3)
usando cálculo. Vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a área de uma região plana D ao integral de linha em torno de seu contorno C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, a área de D pode ser escrita como
\text{Área}(D) =\frac12\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr),Á
onde C é o contorno orientado positivamente (no sentido anti-horário).

Passo 3

Parametrizamos cada lado do triângulo no sentido anti-horário:
  1. Lado AB: r_{AB}(t)=(5t,\;1+5t), t\in[0,1]. Então
dx=5\,dt,\quad dy=5\,dt
e
\int_{AB}(x\,dy-y\,dx) =\int_{0}^{1}\bigl(5t\cdot5 - (1+5t)\cdot5\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}(-5)\,dt =-5.
  1. Lado BC: r_{BC}(t)=(5+3t,\;6-3t), t\in[0,1]. Então
dx=3\,dt,\quad dy=-3\,dt
e
\int_{BC}(x\,dy-y\,dx) =\int_{0}^{1}\bigl((5+3t)(-3)-(6-3t)\cdot3\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}(-33)\,dt =-33.
  1. Lado CA: r_{CA}(t)=(8-8t,\;3-2t), t\in[0,1]. Então
dx=-8\,dt,\quad dy=-2\,dt
e
\int_{CA}(x\,dy-y\,dx) =\int_{0}^{1}\bigl((8-8t)(-2)-(3-2t)(-8)\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}8\,dt =8.

Passo 4

Somando as contribuições dos três lados, obtemos
\oint_{C}(x\,dy-y\,dx) =(-5)+(-33)+8=-30.
Logo, a área do triângulo é
\text{Área} =\frac12\bigl|\;-30\;\bigr| =15.Á

Resposta

A área do triângulo é 15.

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