Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
f(x)=e^{3 x} \operatorname{arcsen}(2 \mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{3x}\,\arcsin(2x)
Vamos usar a regra do produto (para u(x)v(x)) e, dentro dela, a regra da cadeia (para \arcsin(2x)).

Passo 2

Pela regra do produto,
f'(x) = \bigl(e^{3x}\bigr)' \,\arcsin(2x) + e^{3x}\,\bigl(\arcsin(2x)\bigr)'

Passo 3

Calculamos cada derivada:
\bigl(e^{3x}\bigr)' = 3e^{3x}
e, pela regra da cadeia em \arcsin(2x),
\bigl(\arcsin(2x)\bigr)' = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}\cdot(2) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) = 3e^{3x}\,\arcsin(2x) \;+\; e^{3x}\,\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.

Passo 5

Colocando e^{3x} em evidência,
f'(x) = e^{3x}\Bigl(3\,\arcsin(2x) + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

Resposta

f'(x) = e^{3x}\Bigl(3\,\arcsin(2x) + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

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