Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
y+\cos y=x y

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
y + \cos y = x\,y
e pede \frac{dy}{dx} em termos de x e y. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia para \cos y e a regra do produto para x\,y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(y + \cos y\bigr) = \frac{dy}{dx} - \sin y\,\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}\,(1 - \sin y),
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = y + x\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Igualando as duas expressões:
\frac{dy}{dx}\,(1 - \sin y) = y + x\,\frac{dy}{dx}.
Agrupando os termos com \frac{dy}{dx} de um lado:
\frac{dy}{dx}\,(1 - \sin y - x) = y
e, finalmente, isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 - \sin y - x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 - x - \sin y}.

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