Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}
usando regra da cadeia repetidamente.

Passo 2

Definimos funções auxiliares para aplicar a regra da cadeia de forma organizada:
C = \sqrt{x}, \quad B = \sqrt{x + C}, \quad A = \sqrt{x + B}.
Logo h(x)=A.

Passo 3

Calculamos C'=\dv{C}{x}. Como C=\sqrt{x}, temos
C' = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2C}.

Passo 4

Agora B=\sqrt{x+C}. Pela cadeia,
B' = \frac{1 + C'}{2\sqrt{x + C}} = \frac{1 + \frac{1}{2C}}{2B} = \frac{1 + \frac{1}{2C}}{2B}.

Passo 5

Por fim A=\sqrt{x+B}. De novo pela cadeia,
A' = \frac{1 + B'}{2\sqrt{x + B}} = \frac{1 + \frac{1 + \frac{1}{2C}}{2B}}{2A}.

Passo 6

Simplificamos a expressão de A'. O numerador é
1 + \frac{1 + \frac{1}{2C}}{2B} = 1 + \frac{1}{2B} + \frac{1}{4BC} = \frac{4BC + 2C + 1}{4BC}.
Logo
A' = \frac{\frac{4BC + 2C + 1}{4BC}}{2A} = \frac{4BC + 2C + 1}{8\,A\,B\,C}.
Substituindo A, B e C de volta, ficamos com a derivada de h.

Resposta

h'(x) = \frac{4\sqrt{x+\sqrt{x}}\;\sqrt{x}\;+\;2\sqrt{x}\;+\;1} {8\,\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\;\sqrt{x+\sqrt{x}}\;\sqrt{x}}.

Exercícios relacionados