Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto ( 6,-2,3 ) e tem centro ( -1,2,1 ).
Encontre o centro e o raio da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 x+2 y+6 z+1=0

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na primeira, precisamos achar a equação da esfera que tem centro em (-1,2,1) e passa pelo ponto (6,-2,3). Na segunda, temos a equação geral
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0
e devemos determinar seu centro e seu raio. Vamos usar a forma padrão da equação da esfera e completar quadrados.

Passo 2

Para a esfera de centro (-1,2,1), a forma-padrão é
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2},
onde (x_{0},y_{0},z_{0}) = (-1,2,1). Como ela passa por (6,-2,3), calculamos
r^{2} = (6 - (-1))^{2} + (-2 - 2)^{2} + (3 - 1)^{2} = 7^{2} + (-4)^{2} + 2^{2} = 49 + 16 + 4 = 69.
Logo a equação é
(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 69.

Passo 3

Agora completamos quadrados na equação geral
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0.
Agrupando e completando quadrado em cada variável:
x^{2} - 8x = (x-4)^{2} - 16,
y^{2} + 2y = (y+1)^{2} - 1,
z^{2} + 6z = (z+3)^{2} - 9.

Passo 4

Substituindo na equação geral:
(x-4)^{2} - 16 \;+\;(y+1)^{2} - 1\;+\;(z+3)^{2} - 9 \;+\;1 = 0
\implies (x-4)^{2} + (y+1)^{2} + (z+3)^{2} -25 = 0
\implies (x-4)^{2} + (y+1)^{2} + (z+3)^{2} = 25.
Dessa forma, o centro é (4,-1,-3) e o raio é \sqrt{25}=5.

Resposta

A equação da esfera com centro (-1,2,1) que passa por (6,-2,3) é
(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 69.
Para a esfera dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+2y+6z+1=0, o centro é (4,-1,-3) e o raio é 5.

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