Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto ( 6,-2,3 ) e tem centro ( -1,2,1 ).
Encontre a curva na qual esta esfera intercepta o plano yz.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a equação da esfera de centro (-1,2,1) que passa pelo ponto (6,-2,3) e (b) a curva de interseção dessa esfera com o plano yz (que é dado por x=0). Vamos usar a fórmula padrão da esfera e depois impor x=0.

Passo 2

Para achar o raio r da esfera, calculamos a distância entre o centro (-1,2,1) e o ponto (6,-2,3). Logo,
r^2 = (6 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 + (3 - 1)^2 = (7)^2 + (-4)^2 + (2)^2 = 49 + 16 + 4 = 69.

Passo 3

A equação geral da esfera de centro (x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(-1,2,1) e r^2=69, obtemos
(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 69.

Passo 4

Para achar a curva de interseção com o plano yz, fixamos x=0 na equação da esfera:
(0+1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 69 \quad\Longrightarrow\quad (y-2)^2 + (z-1)^2 = 69 - 1 = 68.
Isso mostra que a interseção é o círculo de raio \sqrt{68} e centro (0,2,1) contido no plano x=0.

Resposta

A equação da esfera é
(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 69,
e sua interseção com o plano yz é o círculo dado por
\begin{cases} x = 0,\\\ (y-2)^2 + (z-1)^2 = 68. \end{cases}

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