4 Em dado instante, o vetor posição inicial de uma partícula que se encontra em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é
. Após a partícula completar
de volta em 2,5 segundos, calcule:
(a) o período;
(b) a velocidade angular;
(c) a velocidade linear;
(d) o módulo da aceleração centrípeta;
(e) o vetor de posição final.
(a) o período;
(b) a velocidade angular;
(c) a velocidade linear;
(d) o módulo da aceleração centrípeta;
(e) o vetor de posição final.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula em movimento circular uniforme de raio 6 m, com vetor posição inicial
. Ela completa 1/4 de volta em 2,5 s. Vamos precisar das fórmulas de movimento circular uniforme: período
, velocidade angular
, velocidade linear
, aceleração centrípeta
e a relação entre ângulo e posição vetorial.
Passo 2
Como ela faz 1/4 de volta em 2,5 s, temos
s. Logo,
Passo 3
[
T = 4 \times 2{,}5 = 10\ \mathrm{s}
]
T = 4 \times 2{,}5 = 10\ \mathrm{s}
]
Passo 4
A velocidade angular em movimento circular uniforme é
. Substituindo
s:
Passo 5
[
\omega = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\ \mathrm{rad/s}
]
\omega = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\ \mathrm{rad/s}
]
Passo 6
A velocidade linear é dada por
. Como
m e
rad/s:
Passo 7
[
v = \frac{\pi}{5} \times 6 = \frac{6\pi}{5}\ \mathrm{m/s}
]
v = \frac{\pi}{5} \times 6 = \frac{6\pi}{5}\ \mathrm{m/s}
]
Passo 8
A aceleração centrípeta tem módulo
. Então:
Passo 9
[
a_c = \frac{\bigl(6\pi/5\bigr)^2}{6} = \frac{36\pi^2/25}{6} = \frac{6\pi2}{25} \mathrm{m/s2}
]
a_c = \frac{\bigl(6\pi/5\bigr)^2}{6} = \frac{36\pi^2/25}{6} = \frac{6\pi2}{25} \mathrm{m/s2}
]
Passo 10
Para o vetor posição final, somamos ao ângulo inicial
um ângulo de
. Logo
. Então
Passo 11
[
\overrightarrow r_f = 6\bigl[\cos(4\pi/3),\mathbf i + \sin(4\pi/3),\mathbf j\bigr] = -3,\mathbf i -3\sqrt{3},\mathbf j\ \mathrm m
]
\overrightarrow r_f = 6\bigl[\cos(4\pi/3),\mathbf i + \sin(4\pi/3),\mathbf j\bigr] = -3,\mathbf i -3\sqrt{3},\mathbf j\ \mathrm m
]
Resposta
(a)
. (b)
. (c)
. (d)
. (e)
.