4 Em dado instante, o vetor posição inicial de uma partícula que se encontra em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é r0=[6 cdot cos (5 pi / 6) i+ 6 cdot sen(5 pi / 6) j] m. Após a partícula completar 1 / 4 de volta em 2,5 segundos, calcule:
(a) o período;
(b) a velocidade angular;
(c) a velocidade linear;
(d) o módulo da aceleração centrípeta;
(e) o vetor de posição final.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula em movimento circular uniforme de raio 6 m, com vetor posição inicial overrightarrow r0 = [6cos(5pi/6), i + 6sin(5pi/6), j]. Ela completa 1/4 de volta em 2,5 s. Vamos precisar das fórmulas de movimento circular uniforme: período T, velocidade angular omega, velocidade linear v, aceleração centrípeta ac e a relação entre ângulo e posição vetorial.

Passo 2

Como ela faz 1/4 de volta em 2,5 s, temos T/4 = 2,5 s. Logo,

Passo 3

[
T = 4 \times 2{,}5 = 10\ \mathrm{s}
]

Passo 4

A velocidade angular em movimento circular uniforme é omega = 2pi / T. Substituindo T = 10 s:

Passo 5

[
\omega = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\ \mathrm{rad/s}
]

Passo 6

A velocidade linear é dada por v = omega R. Como R = 6 m e omega = pi/5 rad/s:

Passo 7

[
v = \frac{\pi}{5} \times 6 = \frac{6\pi}{5}\ \mathrm{m/s}
]

Passo 8

A aceleração centrípeta tem módulo ac = v^2 / R. Então:

Passo 9

[
a_c = \frac{\bigl(6\pi/5\bigr)^2}{6} = \frac{36\pi^2/25}{6} = \frac{6\pi2}{25} \mathrm{m/s2}
]

Passo 10

Para o vetor posição final, somamos ao ângulo inicial theta0 = 5pi/6 um ângulo de De<atheta = 2pi/4 = pi/2. Logo thetaf = 5pi/6 + pi/2 = 4pi/3. Então

Passo 11

[
\overrightarrow r_f = 6\bigl[\cos(4\pi/3),\mathbf i + \sin(4\pi/3),\mathbf j\bigr] = -3,\mathbf i -3\sqrt{3},\mathbf j\ \mathrm m
]

Resposta

(a) T = 10 s. (b) omega = pi/5 rad/s. (c) v = 6pi/5 m/s. (d) ac = 6pi^2/25 m/s^2. (e) overrightarrow rf = -3, i -3raiz3, j m.

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