Um móvel descreve Movimento Uniformemente Variado em uma trajetória retilínea e seus espaços variam no tempo de acordo com a função horária:
(
em segundos e
em metros). Determine:
a) A velocidade instantânea no tempo de
, considerando
e
b) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e à partir dela calcule a velocidade para
. Justifique o que acontece com base nos seus cálculos.
a) A velocidade instantânea no tempo de
b) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e à partir dela calcule a velocidade para
Passo 1
Resumimos: a partícula faz MUV com s(t)=12+6t+3t^2. Precisamos aproximar a velocidade instantânea em t=4,0 s usando diferenças finitas e depois achar a expressão exata via derivada.
Passo 2
Usamos a definição de velocidade média como aproximação: v_med=
.
Passo 3
Para Δt=0,1 s calculamos:
Passo 4
Para Δt=0,01 s temos:
Passo 5
Notamos que ao reduzir Δt a velocidade média tende a 30 m/s, indicando esse valor como exato em t=4,0 s.
Passo 6
Para achar a expressão exata, derivamos s(t):
Passo 7
Substituindo t=4,0 s:
Isso confirma que v_med→30 m/s conforme Δt→0.
Passo 8
Concluímos que a aproximação por diferenças finitas converge para o valor obtido pela derivada, que é 30 m/s em t=4,0 s.
Resposta
a) A estimativa da velocidade instantânea em t = 4,0 s é aproximadamente 30,3 m/s para Δt = 0,1 s e 30,03 m/s para Δt = 0,01 s.
b) A expressão geral é v(t) = 6 + 6t, logo v(4,0 s) = 30 m/s. Observa-se que, à medida que Δt → 0, as estimativas de v_med convergem para o valor exato 30 m/s.
b) A expressão geral é v(t) = 6 + 6t, logo v(4,0 s) = 30 m/s. Observa-se que, à medida que Δt → 0, as estimativas de v_med convergem para o valor exato 30 m/s.