Um móvel descreve Movimento Uniformemente Variado em uma trajetória retilínea e seus espaços variam no tempo de acordo com a função horária: s=12+6 t+3 t^2 ( t em segundos e s em metros). Determine:
a) A velocidade instantânea no tempo de 4,0 s, considerando De<a t=0,1 s e De<a t=0,01 s
b) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e à partir dela calcule a velocidade para t=4,0 s. Justifique o que acontece com base nos seus cálculos.

Passo 1

Resumimos: a partícula faz MUV com s(t)=12+6t+3t^2. Precisamos aproximar a velocidade instantânea em t=4,0 s usando diferenças finitas e depois achar a expressão exata via derivada.

Passo 2

Usamos a definição de velocidade média como aproximação: v_med= s(t+De<a t)-s(t)De<a t.

Passo 3

Para Δt=0,1 s calculamos:
s(4)=12+6cdot4+3cdot4^2=84,m
s(4,1)=12+6cdot4,1+3cdot(4,1)^2=87,03,m
vmed=87,03-840,1=30,3,m/s

Passo 4

Para Δt=0,01 s temos:
s(4)=84,m
s(4,01)=12+6cdot4,01+3cdot(4,01)^2=84,3003,m
vmed=84,3003-840,01=30,03,m/s

Passo 5

Notamos que ao reduzir Δt a velocidade média tende a 30 m/s, indicando esse valor como exato em t=4,0 s.

Passo 6

Para achar a expressão exata, derivamos s(t):
v(t)=dsdt=6+6t

Passo 7

Substituindo t=4,0 s:
v(4)=6+6cdot4=30,m/s
Isso confirma que v_med→30 m/s conforme Δt→0.

Passo 8

Concluímos que a aproximação por diferenças finitas converge para o valor obtido pela derivada, que é 30 m/s em t=4,0 s.

Resposta

a) A estimativa da velocidade instantânea em t = 4,0 s é aproximadamente 30,3 m/s para Δt = 0,1 s e 30,03 m/s para Δt = 0,01 s.
b) A expressão geral é v(t) = 6 + 6t, logo v(4,0 s) = 30 m/s. Observa-se que, à medida que Δt → 0, as estimativas de v_med convergem para o valor exato 30 m/s.

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