Quais as mudanças que você poderia fazer em um oscilador harmônico para que a velocidade máxima de oscilação do objeto fosse dobrada?

Passo 1

Então, a questão é a seguinte: em um oscilador harmônico (aquele massinha presa numa mola, sabe?), o enunciado pede “Quais as mudanças que você poderia fazer nele para que a velocidade máxima de oscilação do objeto fosse dobrada?”
Conteúdo: movimento harmônico simples (MHS).
O que vamos precisar:
  • A expressão da posição no MHS: x(t)=Acos(omega t+varphi).
  • A velocidade máxima no MHS: vmax=A,omega.
  • A relação da frequência angular com constantes do sistema: omega=raizk/m.

Passo 2

Primeiro, lembra que em MHS a velocidade é dada por
v(t) = -A,omega,sin(omega t+varphi),
e, portanto, o valor máximo (quando sin vale ±1) é
vmax = A,omega
Isso quer dizer que se você mexer em A (amplitude) ou em omega (frequência angular), vai alterar vmax.

Passo 3

Agora, a frequência angular omega depende da mola e da massa:
omega = raizkm,
onde
  • k é a constante elástica da mola,
  • m é a massa do objeto.
Logo, vmax=Araizk/m.

Passo 4

Para dobrar vmax, ou seja, fazer v'max=2,vmax, basta garantir que
A'raizk'm' = 2;Araizkm
Algumas maneiras fáceis de conseguir isso:
  1. Dobrar a amplitude A e deixar k e m iguais:
A' = 2A, k'=k, m'=m Rightarrow v'max=2Araiztfrackm=2,vmax
  1. Manter A e m fixos, aumentar k em 4 vezes:
A'=A, k'=4k, m'=m Rightarrow v'max=Araiztfrac4km=2,Araiztfrackm=2,vmax
  1. Manter A e k fixos, reduzir m a um quarto:
A'=A, k'=k, m'=tfracm4 Rightarrow v'max=Araiztfrackm/4=Araiztfrac4km=2,vmax
  1. Qualquer combinação que faça A'raizk'/m' =2,Araizk/m.

Resposta

Você pode, por exemplo:
  • Dobrar a amplitude A,
  • ou quadruplicar a constante da mola k,
  • ou reduzir a massa m a um quarto.
    Em qualquer desses casos a velocidade máxima dobra: v'max=2,vmax.

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