Dado um inteiro a, prove que a^{3}+a^{2}+a é par se, e somente se, a é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a, a expressão
a^{3} + a^{2} + a
é par se, e somente se, a é par. O conteúdo usado aqui é o conceito de paridade: um inteiro n é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que n = 2k, e é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que n = 2k+1.

Passo 2

Provar que se a é par, então a^{3}+a^{2}+a é par.
Suponha a = 2k com k\in\mathbb{Z}. Então
a^{3}+a^{2}+a = (2k)^{3} + (2k)^{2} + (2k) = 8k^{3} + 4k^{2} + 2k = 2\bigl(4k^{3} + 2k^{2} + k\bigr).
Como 4k^{3} + 2k^{2} + k é inteiro, segue que a^{3}+a^{2}+a é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 3

Provar que se a é ímpar, então a^{3}+a^{2}+a é ímpar (que é a contrapositiva da outra implicação).
Suponha a = 2k+1 com k\in\mathbb{Z}. Temos
(2k+1)^{3} = 8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 1, \quad (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1, \quad 2k+1 = 2k+1.
Somando,
a^{3}+a^{2}+a = (8k^{3}+12k^{2}+6k+1) + (4k^{2}+4k+1) + (2k+1) = 8k^{3} + 16k^{2} + 12k + 3 = 2\bigl(4k^{3} + 8k^{2} + 6k + 1\bigr) + 1.
Logo a^{3}+a^{2}+a é da forma 2m+1 com m\in\mathbb{Z}, ou seja, é ímpar.

Passo 4

Juntando os resultados:
– Se a é par então a^{3}+a^{2}+a é par.
– Se a é ímpar então a^{3}+a^{2}+a é ímpar.
Isto mostra que a expressão a^{3}+a^{2}+a tem a mesma paridade de a.

Resposta

Portanto, para todo a\in\mathbb{Z}, a expressão a^{3}+a^{2}+a é par se, e somente se, a é par.

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