Dado um inteiro a, prove que
é par se, e somente se,
é par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
, a expressão
é par se, e somente se,
é par. O conteúdo usado aqui é o conceito de paridade: um inteiro
é par se existe
tal que
, e é ímpar se existe
tal que
.
Passo 2
Provar que se
é par, então
é par.
Suponha com
. Então
Suponha
Como
é inteiro, segue que
é múltiplo de 2, ou seja, é par.
Passo 3
Provar que se
é ímpar, então
é ímpar (que é a contrapositiva da outra implicação).
Suponha com
. Temos
Suponha
Somando,
Logo
é da forma
com
, ou seja, é ímpar.
Passo 4
Juntando os resultados:
– Se é par então
é par.
– Se é ímpar então
é ímpar.
Isto mostra que a expressão tem a mesma paridade de
.
– Se
– Se
Isto mostra que a expressão
Resposta
Portanto, para todo
, a expressão
é par se, e somente se,
é par.