A diferença dos quadrados de dois inteiros positivos nunca pode ser a unidade.
Passo 1
O enunciado afirma que não existem inteiros positivos
tais que
O conteúdo principal aqui é a fatoração da diferença de quadrados, e vamos usar argumentos sobre divisores inteiros.
Passo 2
Reescrevemos a diferença de quadrados usando fatoração clássica:
Como
e
são inteiros positivos com
, tanto
quanto
são inteiros estritamente positivos.
Passo 3
Se supusermos, para fins de contradição, que
então
Mas em
a única forma de dois inteiros positivos terem produto igual a
é que cada fator valha
. Logo
Passo 4
Somando as duas igualdades:
Então de
segue
Isto contraria a hipótese de que
é um inteiro positivo
. Portanto nossa suposição inicial leva a contradição.
Resposta
Não existem inteiros positivos
tais que
.