A diferença dos quadrados de dois inteiros positivos nunca pode ser a unidade.

Passo 1

O enunciado afirma que não existem inteiros positivos a>b\ge1 tais que
a^2 - b^2 = 1.
O conteúdo principal aqui é a fatoração da diferença de quadrados, e vamos usar argumentos sobre divisores inteiros.

Passo 2

Reescrevemos a diferença de quadrados usando fatoração clássica:
a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b).
Como a e b são inteiros positivos com a>b, tanto a-b quanto a+b são inteiros estritamente positivos.

Passo 3

Se supusermos, para fins de contradição, que
a^2 - b^2 = 1,
então
(a - b)\,(a + b) = 1.
Mas em \mathbb{Z} a única forma de dois inteiros positivos terem produto igual a 1 é que cada fator valha 1. Logo
a - b = 1 \quad\text{e}\quad a + b = 1.

Passo 4

Somando as duas igualdades:
(a - b) + (a + b) = 1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2a = 2 \;\Longrightarrow\; a = 1.
Então de a - b = 1 segue
1 - b = 1 \;\Longrightarrow\; b = 0.
Isto contraria a hipótese de que b é um inteiro positivo b\ge1. Portanto nossa suposição inicial leva a contradição.

Resposta

Não existem inteiros positivos a>b tais que a^2 - b^2 = 1.

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