Seja uma massa inicialmente liberada de uma posição de uma unidade abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 1 pé/s para baixo. Para resolvermos a equação do movimento, consideremos o PVI
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+5 \frac{d x}{d t}+4 x=0, x(0)=1, x^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI que modela o movimento amortecido de uma massa:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 5\,\frac{dx}{dt} +4\,x = 0, \quad x(0)=1,\quad x'(0)=1.
O conteúdo usado será equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^{2} +5r +4 = 0.
Resolvendo-a:
r = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{2} = \frac{-5\pm3}{2},
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r_{1} = -1,\quad r_{2} = -4.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
x(t) = C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}e^{r_{2}t} = C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{-4t}.

Passo 4

Derivando, obtemos
x'(t) = -C_{1}e^{-t} -4C_{2}e^{-4t}.
As condições iniciais geram o sistema
C_{1} + C_{2} = 1, \quad -\,C_{1} -4\,C_{2} = 1.

Passo 5

Somando as duas equações:
(C_{1}+C_{2}) +(-C_{1}-4C_{2}) = 1+1 \;\Longrightarrow\;-3C_{2}=2 \;\Longrightarrow\;C_{2}=-\tfrac{2}{3}.
Então
C_{1} = 1 - C_{2} = 1 -\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{5}{3}.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, concluímos
x(t) = \frac{5}{3}e^{-t} \;-\;\frac{2}{3}e^{-4t}.

Resposta

x(t) = \frac{5}{3}e^{-t} - \frac{2}{3}e^{-4t}.

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