Exemplo 1: Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em
, a massa é solta de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de
pé/s para cima. Determine a equação do movimento.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa–mola sem amortecimento em que uma massa de
lb estende a mola
polegadas e, em
, a massa é solta
polegadas abaixo da posição de equilíbrio com velocidade de
pé/s para cima. Vamos modelar um movimento harmônico simples e determinar sua equação:
- Converter peso em massa (slugs) e distância em pés.
- Encontrar a constante elástica
. - Montar a EDO
. - Resolver e impor condições iniciais.
Passo 2
Convertendo unidades e obtendo
e
:
A massa em slugs é
A massa em slugs é
a distensão estática
polegadas
pé, e pelo equilíbrio
vem
Passo 3
A EDO de movimento livre é
Passo 4
A solução geral da equação
é
onde
mede o deslocamento em pés em relação ao equilíbrio, positivo para baixo.
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
Em ,
polegadas abaixo
pé, e a velocidade inicial para cima
pé/s.
Do .
Derivando,
Em
Do
Derivando,
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a equação do movimento:
com
em pés e
em segundos.