Exemplo 1: Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t=0, a massa é solta de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de \frac{4}{3} pé/s para cima. Determine a equação do movimento.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola sem amortecimento em que uma massa de 2 lb estende a mola 6 polegadas e, em t=0, a massa é solta 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio com velocidade de \tfrac{4}{3} pé/s para cima. Vamos modelar um movimento harmônico simples e determinar sua equação:
  • Converter peso em massa (slugs) e distância em pés.
  • Encontrar a constante elástica k.
  • Montar a EDO \,m\,x''+k\,x=0.
  • Resolver e impor condições iniciais.

Passo 2

Convertendo unidades e obtendo m e k:
A massa em slugs é
m = \frac{\text{peso}}{g} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\quad\text{(slug)},
a distensão estática \Delta x=6 polegadas =0{,}5 pé, e pelo equilíbrio mg = k\,\Delta x vem
2 = k\cdot0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad k = 4\quad\text{(lb/ft)}.

Passo 3

A EDO de movimento livre é
m\,x'' + k\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{16}\,x'' + 4\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x'' + 64\,x = 0.

Passo 4

A solução geral da equação
x'' + 64\,x = 0
é
x(t) = A\cos(8t) + B\sin(8t),
onde x(t) mede o deslocamento em pés em relação ao equilíbrio, positivo para baixo.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
Em t=0, x(0)=8 polegadas abaixo \to x(0)=\tfrac{8}{12}=\tfrac23 pé, e a velocidade inicial para cima \to x'(0)=-\tfrac{4}{3} pé/s.
Do x(0)=A=\tfrac23.
Derivando,
x'(t) = -8A\sin(8t) + 8B\cos(8t) \quad\Longrightarrow\quad x'(0)=8B = -\tfrac{4}{3} \;\Longrightarrow\; B = -\tfrac{1}{6}.

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral, obtemos a equação do movimento:
x(t) = \frac{2}{3}\cos(8t) - \frac{1}{6}\sin(8t),
com x em pés e t em segundos.

Resposta

x(t) = \frac{2}{3}\cos(8t) - \frac{1}{6}\sin(8t).

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