A equação possui um único zero real em . Prove que existe tal que a seqüência converge para .
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a existência de um ponto inicial em algum intervalo tal que a sequência
converja para o único zero real da equação
em .
O conteúdo a usar é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (conhecido também como Teorema da Convergência por Contracção), que garante convergência a um ponto fixo se a função for contracção num intervalo que ela própria mapeia em si.
Passo 2
Definimos a iteração pelo mapa
Note que satisfaz , logo
isto é, é ponto fixo de .
Passo 3
Queremos encontrar um subintervalo tal que e seja contracção em .
Para temos
Como 0<alpha<0.5, 1-2alpha>0. Assim, escolhemos qualquer
0<de<a<= 1-2alpha
para garantir g(J)subset J.
Passo 4
Agora calculamos a derivada
g'(x) ;=; -2x
Em J temos alpha - de<a <= x <= alpha + de<a, logo
supxin J|g'(x)| ;=; 2,(alpha+de<a)
Para tornar g contracção queremos 2(alpha+de<a)<1, i.e.
de<a < tfrac12 - alpha
Como alpha<0.5, tfrac12-alpha>0. Logo basta escolher
0<de<a<min,1-2alpha,;tfrac12-alpha
Com isso garantimos simultaneamente
g(J)subset J,
supJ|g'|=2(alpha+de<a)=k<1.
Passo 5
Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, g tem em J um único ponto fixo (que é alpha) e, para qualquer x0in J, a sequência definida por xn+1=g(xn) converge geometricamente para alpha.
Basta então escolher x0in J com x0neqalpha. Por construção J está contido em [0,1] e satisfaz todas as hipóteses do Teorema de Banach, logo a sequência converge para alpha.