A equação x^2+x-0.7=0 possui um único zero real alpha em [0,1]. Prove que existe x0 in I, x0 neq alpha tal que a seqüência xn+1=0.7-xn^2 converge para alpha.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a existência de um ponto inicial x0neqalpha em algum intervalo Isubset[0,1] tal que a sequência
xn+1=0.7 - xn^2
converja para o único zero real alpha da equação
x^2+x-0.7=0
em [0,1].
O conteúdo a usar é o Teorema do Ponto Fixo de Banach (conhecido também como Teorema da Convergência por Contracção), que garante convergência a um ponto fixo se a função for contracção num intervalo que ela própria mapeia em si.

Passo 2

Definimos a iteração pelo mapa
g(x) ;=; 0.7 - x^2
Note que alpha satisfaz alpha^2 + alpha - 0.7 = 0, logo
g(alpha) ;=; 0.7 - alpha^2 ;=; alpha,
isto é, alpha é ponto fixo de g.

Passo 3

Queremos encontrar um subintervalo J=[alpha-de<a,;alpha+de<a]subset[0,1] tal que g(J)subset J e g seja contracção em J.
Para xin J temos
g(x)-alpha = -l(x^2-alpha^2r) = -l(2alpha(x-alpha)+(x-alpha)^2r),
logo
l|g(x)-alphar|;<=;2alpha,|x-alpha| + |x-alpha|^2 ;<=;2alpha,de<a + de<a^2
Para garantir g(J)subset J basta ter
2alpha,de<a + de<a^2 ;<=;de<a Long<=ftrightarrow de<a,(2alpha + de<a -1)<=0 Long<=ftrightarrow de<a <= 1 - 2alpha
Como 0<alpha<0.5, 1-2alpha>0. Assim, escolhemos qualquer
0<de<a<= 1-2alpha
para garantir g(J)subset J.

Passo 4

Agora calculamos a derivada
g'(x) ;=; -2x
Em J temos alpha - de<a <= x <= alpha + de<a, logo
supxin J|g'(x)| ;=; 2,(alpha+de<a)
Para tornar g contracção queremos 2(alpha+de<a)<1, i.e.
de<a < tfrac12 - alpha
Como alpha<0.5, tfrac12-alpha>0. Logo basta escolher
0<de<a<min,1-2alpha,;tfrac12-alpha
Com isso garantimos simultaneamente
  1. g(J)subset J,
  2. supJ|g'|=2(alpha+de<a)=k<1.

Passo 5

Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, g tem em J um único ponto fixo (que é alpha) e, para qualquer x0in J, a sequência definida por xn+1=g(xn) converge geometricamente para alpha.
Basta então escolher x0in J com x0neqalpha. Por construção J está contido em [0,1] e satisfaz todas as hipóteses do Teorema de Banach, logo a sequência converge para alpha.

Resposta

Escolhendo qualquer
x0in [,alpha-de<a,;alpha+de<a,]subset[0,1], x0neqalpha,
com
0<de<a<min,1-2alpha,;tfrac12-alpha,
a iteração xn+1=0.7 - xn^2 converge para alpha.

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