A equação
possui um único zero real
. Prove que existe
tal que a sequaència
converge para
.
Passo 1
O enunciado diz que a função
tem uma única raiz real em
, i.e.\
. Queremos mostrar que existe
,
, tal que a sequência
tem uma única raiz real
converge para
. Vamos usar o Teorema do Ponto Fixo via mapeamento de contração.
Passo 2
Definimos
Como
implica
, segue
, portanto
ou seja,
é ponto fixo de
.
Passo 3
Mostramos que
. Para
temos
,
então
então
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
logo
Isto mostra que
é uma contração em
com constante
.
Passo 5
Pelo Teorema do Ponto Fixo para contrações, existe um único ponto fixo
em
e, para qualquer escolha inicial
, a iteração
converge para
. Em particular, basta escolher
em
.
Resposta
Por exemplo, escolhendo
, a sequência
converge para
.