A equação 2 x-cos x=0 possui um único zero real alpha em I=[0, pi / 4]. Prove que existe x0 in I, x0 neq alpha tal que a sequaència
xn+1=cos xn2
converge para alpha.

Passo 1

O enunciado diz que a função
f(x)=2x-cos x
tem uma única raiz real alpha em I=[0,pi/4], i.e.\ ,f(alpha)=0. Queremos mostrar que existe x0in I, x0neqalpha, tal que a sequência
xn+1=cos xn2
converge para alpha. Vamos usar o Teorema do Ponto Fixo via mapeamento de contração.

Passo 2

Definimos
g(x)=cos x2
Como f(alpha)=0 implica 2alpha-cosalpha=0, segue cosalpha=2alpha, portanto
g(alpha)=cosalpha2=alpha,
ou seja, alpha é ponto fixo de g.

Passo 3

Mostramos que g(I)subset I. Para xin[0,pi/4] temos
cos xin[cos(pi/4),1]=[tfracraiz22,1],
então
g(x)=cos x2inl[raiz2/22,12r] =l[raiz24,12r] subset[0,pi/4]

Passo 4

Calculamos a derivada de g:
g'(x)=-tfrac12sin x,
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|g'(x)|=tfrac12|sin x|<=tfrac12sinl(tfracpi4r) =raiz24<1
Isto mostra que g é uma contração em I com constante L=raiz2/4.

Passo 5

Pelo Teorema do Ponto Fixo para contrações, existe um único ponto fixo alpha em I e, para qualquer escolha inicial x0in I, a iteração xn+1=g(xn) converge para alpha. Em particular, basta escolher x0neqalpha em I.

Resposta

Por exemplo, escolhendo x0=0, a sequência
xn+1=cos xn2
converge para alpha.

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