Um dado é jogado 3 vezes, uma após a outra. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados ser menor ou igual a 16 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao lançar um dado justo três vezes, a soma dos resultados seja menor ou igual a 16. Aqui temos três variáveis aleatórias independentes X_1,X_2,X_3, cada uma uniformemente distribuída em \{1,2,3,4,5,6\}. O espaço amostral tem 6^3=216 resultados igualmente prováveis.

Passo 2

Para facilitar, vamos usar o complementar. Sejam
A = \{\text{soma} \le 16\},\quad A^c = \{\text{soma} \ge 17\}.
Então
P(A) \;=\; 1 - P(A^c) \;=\; 1 - \bigl[P(\text{soma}=17)+P(\text{soma}=18)\bigr].

Passo 3

Calculemos P(\text{soma}=18). A soma 18 só ocorre se cada lançamento for 6, ou seja, apenas 1 caso em 216:
\#\{\text{soma}=18\}=1.
Agora P(\text{soma}=17) corresponde a soluções inteiras de
x_1+x_2+x_3=17,\quad 1\le x_i\le6.
Fazendo y_i=6-x_i temos y_1+y_2+y_3=18-17=1 com 0\le y_i\le5. Há exatamente 3 maneiras de escolher qual y_i=1, logo
\#\{\text{soma}=17\}=3.

Passo 4

Assim o total de casos em A^c é 1+3=4. Logo
P(A^c)=\frac{4}{216},
e
P(A)=1-\frac{4}{216}=\frac{212}{216}.

Passo 5

Basta simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{212}{216}=\frac{53}{54}.

Resposta

\displaystyle \frac{53}{54}

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