Um dado jogo consiste no lançamento de dois dados não viciados de seis faces cada, numeradas de um a seis. Sempre que o primeiro dado lançado tiver um valor (face para cima) estritamente maior que o valor do segundo dado, o jogador A vence. Se o valor do primeiro dado for estritamente menor que o do segundo dado, vence o jogador B. Em caso de valores iguais, o lançamento é considerado inválido, e os dados são lançados novamente. Nestas condições, em seis partidas válidas, a probabilidade de que o jogador A vença, pelo menos, uma das partidas é igual a:
Passo 1
Vamos dar uma geral no que o exercício está pedindo. Temos um jogo onde lançamos dois dados de seis faces cada. O jogador A ganha se o primeiro dado mostrar um número maior que o segundo, o jogador B ganha se for menor, e se os dois números forem iguais, o jogo é inválido e os dados são lançados novamente. A pergunta é: em seis partidas válidas, qual é a probabilidade de o jogador A ganhar pelo menos uma vez?
Para resolver isso, vamos precisar usar probabilidade básica e o conceito de eventos independentes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os resultados possíveis quando lançamos dois dados:
- Cada dado tem 6 faces, então há
combinações possíveis. - Desses, em 6 combinações, os dois dados mostram o mesmo número (como (1,1), (2,2), etc.), o que faz com que o jogo seja inválido.
- Portanto, existem
resultados válidos onde um jogador pode ganhar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar quantas dessas 30 combinações válidas resultam na vitória do jogador A:
- O jogador A ganha quando o primeiro dado é maior que o segundo.
- Para cada número no primeiro dado, há um certo número de números menores no segundo dado:
- Se o primeiro dado for 2, o segundo pode ser 1 (1 possibilidade).
- Se for 3, o segundo pode ser 1 ou 2 (2 possibilidades).
- Isso continua até o primeiro dado ser 6, onde o segundo pode ser de 1 a 5 (5 possibilidades).
- Somando todas essas possibilidades:
.
Passo 4
Assim, a probabilidade de o jogador A ganhar em uma partida válida é:
Isso significa que, a cada partida válida, há 50% de chance do jogador A ganhar.
Passo 5
A pergunta quer saber a probabilidade de o jogador A ganhar pelo menos uma vez em seis partidas válidas. Para isso, vamos usar o conceito de eventos independentes e complementar.
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o jogador A não ganhar nenhuma das seis partidas. Como cada partida é independente e a probabilidade de não ganhar é
, a probabilidade de não ganhar em todas as seis partidas é:
Passo 6
Agora, para encontrar a probabilidade de o jogador A ganhar pelo menos uma vez, subtraímos a probabilidade acima de 1:
Resposta
A probabilidade de o jogador A vencer pelo menos uma das seis partidas é igual a
.