Um dado jogo consiste no lançamento de dois dados não viciados de seis faces cada, numeradas de um a seis. Sempre que o primeiro dado lançado tiver um valor (face para cima) estritamente maior que o valor do segundo dado, o jogador A vence. Se o valor do primeiro dado for estritamente menor que o do segundo dado, vence o jogador B. Em caso de valores iguais, o lançamento é considerado inválido, e os dados são lançados novamente. Nestas condições, em seis partidas válidas, a probabilidade de que o jogador A vença, pelo menos, uma das partidas é igual a:

Passo 1

Vamos dar uma geral no que o exercício está pedindo. Temos um jogo onde lançamos dois dados de seis faces cada. O jogador A ganha se o primeiro dado mostrar um número maior que o segundo, o jogador B ganha se for menor, e se os dois números forem iguais, o jogo é inválido e os dados são lançados novamente. A pergunta é: em seis partidas válidas, qual é a probabilidade de o jogador A ganhar pelo menos uma vez?
Para resolver isso, vamos precisar usar probabilidade básica e o conceito de eventos independentes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os resultados possíveis quando lançamos dois dados:
  • Cada dado tem 6 faces, então há 6 times 6 = 36 combinações possíveis.
  • Desses, em 6 combinações, os dois dados mostram o mesmo número (como (1,1), (2,2), etc.), o que faz com que o jogo seja inválido.
  • Portanto, existem 36 - 6 = 30 resultados válidos onde um jogador pode ganhar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar quantas dessas 30 combinações válidas resultam na vitória do jogador A:
  • O jogador A ganha quando o primeiro dado é maior que o segundo.
  • Para cada número no primeiro dado, há um certo número de números menores no segundo dado:
    • Se o primeiro dado for 2, o segundo pode ser 1 (1 possibilidade).
    • Se for 3, o segundo pode ser 1 ou 2 (2 possibilidades).
    • Isso continua até o primeiro dado ser 6, onde o segundo pode ser de 1 a 5 (5 possibilidades).
  • Somando todas essas possibilidades: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Passo 4

Assim, a probabilidade de o jogador A ganhar em uma partida válida é:
P(A) = Número de vitórias do ATotal de partidas válidas = 1530 = 12 úóá
Isso significa que, a cada partida válida, há 50% de chance do jogador A ganhar.

Passo 5

A pergunta quer saber a probabilidade de o jogador A ganhar pelo menos uma vez em seis partidas válidas. Para isso, vamos usar o conceito de eventos independentes e complementar.
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o jogador A não ganhar nenhuma das seis partidas. Como cada partida é independente e a probabilidade de não ganhar é 1 - 12 = 12, a probabilidade de não ganhar em todas as seis partidas é:
P(A não ganha nenhuma) = (12)^6 = 164 ã

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade de o jogador A ganhar pelo menos uma vez, subtraímos a probabilidade acima de 1:
P(A ganha pelo menos uma vez) = 1 - P(A não ganha nenhuma) = 1 - 164 = 6364 ã

Resposta

A probabilidade de o jogador A vencer pelo menos uma das seis partidas é igual a 6364.

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