Dado
um corpo finito com
elementos. Quantos elementos possui o espaço vetorial
. Quantas soluções possui a equação
?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos vetores há em
, sendo
um corpo finito com
elementos, e depois determinar quantas soluções tem a equação linear homogênea
. Vamos usar teoria de espaços vetoriais finitos: o princípio multiplicativo para contagem e o fato de que o conjunto de soluções de uma equação linear não-trivial em
variáveis é um subespaço de dimensão
.
Passo 2
Para contar
, note que cada vetor
tem
coordenadas independentes e cada coordenada pode ser escolhida de
de
maneiras. Pelo princípio multiplicativo, o número total de vetores é
Passo 3
Agora, para a equação
existem dois casos: se todos os
, a equação é identicamente 0 e qualquer
serve, ou seja,
soluções. Se pelo menos um
, essa equação define um hiperplano (um subespaço) de dimensão
em
. Um espaço vetorial de dimensão
sobre
tem cardinalidade
Resposta
O espaço vetorial
tem
elementos. A equação
tem
soluções se todos os
, e tem
soluções se pelo menos um
é não nulo.