Dado K um corpo finito com q elementos. Quantos elementos possui o espaço vetorial K^n. Quantas soluções possui a equação sumi=1^n ai xi=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos vetores há em K^n, sendo K um corpo finito com q elementos, e depois determinar quantas soluções tem a equação linear homogênea sumi=1^n ai xi = 0. Vamos usar teoria de espaços vetoriais finitos: o princípio multiplicativo para contagem e o fato de que o conjunto de soluções de uma equação linear não-trivial em n variáveis é um subespaço de dimensão n-1.

Passo 2

Para contar |K^n|, note que cada vetor (x1,dots,xn) tem n coordenadas independentes e cada coordenada pode ser escolhida de K de q maneiras. Pelo princípio multiplicativo, o número total de vetores é
|K^n| ,=, q times q times cdots times q (n vezes) ,=, q^n

Passo 3

Agora, para a equação
sumi=1^n ai xi = 0,
existem dois casos: se todos os ai=0, a equação é identicamente 0 e qualquer (x1,dots,xn)in K^n serve, ou seja, q^n soluções. Se pelo menos um aineq 0, essa equação define um hiperplano (um subespaço) de dimensão n-1 em K^n. Um espaço vetorial de dimensão n-1 sobre K tem cardinalidade
q^n-1

Resposta

O espaço vetorial K^n tem q^n elementos. A equação sumi=1^n ai xi=0 tem q^n soluções se todos os ai=0, e tem q^n-1 soluções se pelo menos um ai é não nulo.

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