Seja a transformação linear definida por para todo .
a. Achar a matriz de em relação á base canonica de .
b. Calcular o determinante de .
c. é injetora?
Passo 1
O enunciado define a transformação linear dada por
O conteúdo aqui é matriz de uma transformação linear na base canônica, cálculo de determinante e teste de injetividade. Vamos precisar usar: (i) imagem dos vetores da base canônica para montar a matriz, (ii) definição de determinante e (iii) fato de que é injetora se e só se .
Passo 2
Para obter a matriz na base canônica, lembramos que as colunas de são , e , onde , , .
Calculando cada imagem:
Passo 3
–
–
–
Passo 4
Logo, a matriz cujas colunas são esses vetores é
Passo 5
Passo 6
Para calcular det(A), podemos expandir ao longo da primeira coluna. Temos
Como det(A)=-1neq0, concluímos que a transformação linear f é injetora, visto que uma transformação de R^n é injetora se, e somente se, sua matriz associada é invertível (determinante não nulo).