Seja f: R^3 R^3 a transformação linear definida por A para todo f.
a. Achar a matriz R^3 de A em relação á base canonica de f.
b. Calcular o determinante de .
c. é injetora?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear f: R^3 to R^3 dada por
f(x1,x2,x3)=l(x1,,x2+x3,,x1-x3r)
O conteúdo aqui é matriz de uma transformação linear na base canônica, cálculo de determinante e teste de injetividade. Vamos precisar usar: (i) imagem dos vetores da base canônica para montar a matriz, (ii) definição de determinante e (iii) fato de que f é injetora se e só se det(A)neq0.

Passo 2

Para obter a matriz A na base canônica, lembramos que as colunas de A são
f(e1), f(e2) e f(e3), onde
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
Calculando cada imagem:

Passo 3

f(e1)=f(1,0,0)=(1,0+0,1-0)=(1,0,1)
f(e2)=f(0,1,0)=(0,1+0,0-0)=(0,1,0)
f(e3)=f(0,0,1)=(0,0+1,0-1)=(0,1,-1)

Passo 4

Logo, a matriz A cujas colunas são esses vetores é

Passo 5

A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & -1

Passo 6

Para calcular det(A), podemos expandir ao longo da primeira coluna. Temos
det(A)=1cdotdet1 & 10 & -1 +0+1cdot0 =1cdot(1times(-1)-1times0)+0 =-1

Passo 7

Como det(A)=-1neq0, concluímos que a transformação linear f é injetora, visto que uma transformação de R^n é injetora se, e somente se, sua matriz associada é invertível (determinante não nulo).

Resposta

Matriz na base canônica:
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & -1 ,
det(A)=-1. Logo, f é injetora.

Exercícios relacionados