Dado k \in \mathbb{N}, mostre que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{n}}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt[k]{n}}
converge para 0 quando n\to\infty. O conteúdo aqui é a definição de limite de sequência e o uso de desigualdades para construir, dado \varepsilon>0, um N tal que para todo n\ge N tenhamos \bigl|a_n-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Seja um \varepsilon>0. Queremos encontrar N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n-0\bigr| =\frac{1}{\sqrt[k]{n}} <\varepsilon.

Passo 3

A condição \frac{1}{\sqrt[k]{n}}<\varepsilon é equivalente a
\sqrt[k]{n}>\frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\Bigl(\frac{1}{\varepsilon}\Bigr)^{k}.
Portanto basta escolher
N = \Bigl\lceil\bigl(1/\varepsilon\bigr)^{k}\Bigr\rceil,
que é um número natural e satisfaz N\ge(1/\varepsilon)^{k}.

Passo 4

Para todo n\ge N temos n\ge(1/\varepsilon)^{k}, logo \sqrt[k]{n}\ge1/\varepsilon e portanto
\frac{1}{\sqrt[k]{n}}<\varepsilon.
Isso mostra, pela definição de limite de sequência, que \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{n}}=0.

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