(ENADE-2011) Sabendo que para todo número natural n>1, tem-se
\frac{n \sqrt[n]{e}}{e}<\sqrt[n]{n!}<\frac{n \sqrt[n]{n e}}{e}

Passo 1

O enunciado informa que, para todo natural n>1, vale a desigualdade
\frac{n\sqrt[n]{e}}{e}<\sqrt[n]{n!}<\frac{n\sqrt[n]{n\,e}}{e}.
O que se pede é calcular o limite da sequência
a_n = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}.
Usaremos o Teorema do Confronto e as propriedades de radiciação, em particular que \sqrt[n]{A\,B}=\sqrt[n]{A}\,\sqrt[n]{B} e que, se A>0 é constante, então \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{A}=1.

Passo 2

Dividindo toda a desigualdade original por n, obtemos
\frac{\sqrt[n]{e}}{e}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}<\frac{\sqrt[n]{n\,e}}{e}.
Repare que
\sqrt[n]{n\,e}=\sqrt[n]{n}\,\sqrt[n]{e}.

Passo 3

Calculamos o limite dos termos extremos. Como \sqrt[n]{e}\to1 e \sqrt[n]{n}\to1 quando n\to\infty, segue:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{e}}{e} =\frac{1}{e}, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}\,\sqrt[n]{e}}{e} =\frac{1\cdot1}{e} =\frac{1}{e}.
Pelo Teorema do Confronto, o termo central também converge para 1/e.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}.

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