Sejam a_{1}, \ldots, a_{p} números reais positivos. Mostre que
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+\ldots+a_{p}^{n}}=\max \left\{a_{1}, \ldots, a_{p}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n} = \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{p}^{n}}
com onde a_{1},\dots,a_{p}>0. Queremos calcular \lim_{n\to\infty}x_{n}. Usaremos desigualdades simples e o Teorema do Confronto (ou “sanduíche”) para encontrar esse limite.

Passo 2

Defina
M = \max\{a_{1},a_{2},\dots,a_{p}\}.
Como existe algum índice k tal que a_{k}=M, temos
a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\ge a_{k}^{n}=M^{n},
portanto
x_{n} = \sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}}\ge \sqrt[n]{M^{n}} = M.

Passo 3

Por outro lado, para todo i vale a_{i}\le M, então
a_{i}^{n}\le M^{n} \quad\Longrightarrow\quad a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\le p\,M^{n}.
Assim
x_{n} = \sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}}\le \sqrt[n]{p\,M^{n}} = M\;\sqrt[n]{p}.

Passo 4

Reunindo as duas desigualdades, obtemos
M \le x_{n} \le M\,\sqrt[n]{p}.
Como \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{p}=1, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{n\to\infty}x_{n} = M.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}} =\max\{a_{1},\dots,a_{p}\}.

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