Seja
uma sequência de números reais qualquer. Mostre que, para dado
qualquer, temos que
para algum
, se, e somente se,
. Isto é, a convergência de um sequência para um número real
independe de qualquer quantidade finita
de seus termos.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para uma sequência real
e um
fixo, vale
O conteúdo usado será a definição de convergência de sequência:
“ significa que, para todo
, existe
tal que, se
, então
.”
“
Passo 2
Prova de “
”: suponha que
.
Então, para todo , existe
tal que
Então, para todo
Queremos mostrar
. Dado
, use o mesmo
. Se escolhermos
então, para todo
, tem-se
Logo
.
Passo 3
Prova de “
”: suponha que
.
Então, para todo , existe
tal que
Então, para todo
Queremos
. Defina
Se
, então
implica
, e assim
Portanto
.
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo