Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de números reais qualquer. Mostre que, para dado p \in \mathbb{N} qualquer, temos que x_{n} \rightarrow L para algum L \in \mathbb{R}, se, e somente se, x_{n+p} \rightarrow L. Isto é, a convergência de um sequência para um número real L independe de qualquer quantidade finita p de seus termos.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para uma sequência real \bigl(x_{n}\bigr) e um p\in\mathbb{N} fixo, vale
x_{n}\to L \quad\Longleftrightarrow\quad x_{n+p}\to L.
O conteúdo usado será a definição de convergência de sequência:
\displaystyle x_{n}\to L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, se n>N, então \lvert x_{n}-L\rvert<\varepsilon.”

Passo 2

Prova de “ \implies”: suponha que x_{n}\to L.
Então, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
n > N \;\;\Longrightarrow\;\; \lvert x_{n}-L\rvert < \varepsilon.
Queremos mostrar x_{n+p}\to L. Dado \varepsilon>0, use o mesmo N. Se escolhermos
N' = \max\{\,N - p,\,1\},
então, para todo n > N', tem-se
n + p > N' + p \ge (N - p) + p = N \quad\Longrightarrow\quad \lvert x_{n+p} - L\rvert < \varepsilon.
Logo x_{n+p}\to L.

Passo 3

Prova de “ \Longleftarrow”: suponha que x_{n+p}\to L.
Então, para todo \varepsilon>0, existe M\in\mathbb{N} tal que
n > M \;\;\Longrightarrow\;\; \lvert x_{n+p}-L\rvert < \varepsilon.
Queremos x_{n}\to L. Defina
N'' = M + p.
Se n > N'', então n > M + p implica n - p > M, e assim
\lvert x_{n} - L\rvert = \lvert x_{(n-p)+p} - L\rvert < \varepsilon.
Portanto x_{n}\to L.

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo
x_{n}\to L \quad\Longleftrightarrow\quad x_{n+p}\to L.

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