Dado
o conjunto de todas as sequências com
, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
O conjunto das sequências com apenas um número finito de coordenadas diferentes de zero.
O conjunto das sequências com apenas um número finito de coordenadas diferentes de zero.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto V_f de todas as sequências x=(x_1,x_2,…) em K^∞ com apenas um número finito de coordenadas não nulas é subespaço de K^∞. O conteúdo aqui é teoria de subespaços em espaços vetoriais: precisamos checar se V_f contém o vetor zero, se é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a sequência zero 0=(0,0,0,…) pertence a V_f pois seu suporte (conjunto de índices onde é não nulo) é vazio, que é finito. Assim, o vetor zero de K^∞ está em V_f.
Passo 3
Para fechar sob adição, sejam x e y em V_f. Então support(x) e support(y) são finitos. O suporte de x+y é support(x+y)=support(x) ∪ support(y). Como união de dois conjuntos finitos é finita, x+y também tem suporte finito. Logo, V_f é fechado sob adição.
Passo 4
Para fechar sob multiplicação por escalar, seja α∈K e x∈V_f. O suporte de αx é igual ao suporte de x (ou subset dele), pois αx_i≠0 só se x_i≠0. Logo support(αx) é finito. Assim, V_f é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto das sequências com apenas um número finito de coordenadas diferentes de zero é de fato um subespaço de K^∞.