Dado
o conjunto de todas as sequências com
, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
Nenhuma coordenada igual a 1
Nenhuma coordenada igual a 1
Passo 1
O enunciado pede para estudar o conjunto
S = { (a₁,a₂,… ) ∈ K^∞ ∣ para todo i, aᵢ ≠ 1 } e decidir se ele é subespaço de K^∞. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço em espaços vetoriais, e vamos precisar usar os critérios de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
S = { (a₁,a₂,… ) ∈ K^∞ ∣ para todo i, aᵢ ≠ 1 } e decidir se ele é subespaço de K^∞. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço em espaços vetoriais, e vamos precisar usar os critérios de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Em qualquer espaço vetorial V, um subconjunto W é subespaço se e somente se:
- O vetor zero de V está em W.
- Para quaisquer u,v ∈ W, u+v ∈ W (fechamento sob adição).
- Para qualquer u ∈ W e qualquer escalar α ∈ K, αu ∈ W (fechamento sob escalar).
Passo 3
Vamos checar o vetor zero: o vetor zero em K^∞ é
Como 0 ≠ 1, nenhuma coordenada de 0 é igual a 1. Logo, o vetor zero pertence a S.
Passo 4
Agora testamos o fechamento sob adição. Considere
Ambos satisfazem que nenhuma coordenada é 1, então u ∈ S e v ∈ S. Porém
e esse vetor tem todas as coordenadas iguais a 1, portanto não pertence a S. Isso mostra que S não é fechado sob adição.
Passo 5
Como falha o critério de fechamento sob adição, S não pode ser um subespaço de K^∞. Não precisamos nem verificar a multiplicação por escalar, já que basta uma falha para descartar.
Resposta
O conjunto não é subespaço de K^∞.