Dado K^infty o conjunto de todas as sequências com ai in K, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
Nenhuma coordenada igual a 1

Passo 1

O enunciado pede para estudar o conjunto
S = { (a₁,a₂,… ) ∈ K^∞ ∣ para todo i, aᵢ ≠ 1 } e decidir se ele é subespaço de K^∞. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço em espaços vetoriais, e vamos precisar usar os critérios de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial V, um subconjunto W é subespaço se e somente se:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. Para quaisquer u,v ∈ W, u+v ∈ W (fechamento sob adição).
  3. Para qualquer u ∈ W e qualquer escalar α ∈ K, αu ∈ W (fechamento sob escalar).

Passo 3

Vamos checar o vetor zero: o vetor zero em K^∞ é
0 = (0,0,0,dots)
Como 0 ≠ 1, nenhuma coordenada de 0 é igual a 1. Logo, o vetor zero pertence a S.

Passo 4

Agora testamos o fechamento sob adição. Considere
u = (2,2,2,dots), v = (-1,-1,-1,dots)
Ambos satisfazem que nenhuma coordenada é 1, então u ∈ S e v ∈ S. Porém
u + v = (2+(-1),2+(-1),2+(-1),dots) = (1,1,1,dots),
e esse vetor tem todas as coordenadas iguais a 1, portanto não pertence a S. Isso mostra que S não é fechado sob adição.

Passo 5

Como falha o critério de fechamento sob adição, S não pode ser um subespaço de K^∞. Não precisamos nem verificar a multiplicação por escalar, já que basta uma falha para descartar.

Resposta

O conjunto não é subespaço de K^∞.

Exercícios relacionados