Seja cc1 & -1 -1 & 2 uma base para o espaço vetorial cc4 & 1 1 & 0 das matrizes reais simétrica cc3 & -2 -2 & 1. Encontre as coordenadas da matriz W em relação à base 2 times 2, onde:
A in W

Passo 1

Vamos primeiro entender o que o exercício pede: temos o espaço vetorial W das matrizes reais simétricas 2times2 e uma base B=B1,B2,B3, onde
B1=1 & -1-1 & 2, B2=4 & 11 & 0, B3=3 & -2-2 & 1
Queremos encontrar as coordenadas da matriz
A=1 & 22 & 4
no sistema de coordenadas dado por B.

Passo 2

Para achar as coordenadas (x,y,z) de A na base B, montamos a combinação linear
A = xB1 + yB2 + zB3
e igualamos entrada a entrada. Isso gera o sistema:
x + 4y + 3z = 1, -,x + y - 2z = 2, 2x + 0,y + z = 4

Passo 3

Agora resolvemos o sistema passo a passo. Da terceira equação vem
z = 4 - 2x
Substituindo em -x + y - 2z = 2:
- x + y - 2(4 - 2x) = 2 implies 3x + y = 10 implies y = 10 - 3x
Finalmente, na primeira equação:
x + 4(10 - 3x) + 3(4 - 2x) = 1 implies -17x + 52 = 1 implies x = 3
Daí
y = 10 - 3cdot3 = 1,
z = 4 - 2cdot3 = -2

Resposta

(3,1,-2)

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