Seja
o conjunto das funções contínuas de
em
com o seguinte produto interno :
.
a. os vetores
e
são ortogonais?
b. os vetores
e
são linearmente independentes?
a. os vetores
b. os vetores
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial de funções contínuas em [0,π] com o produto interno
. As questões são: verificar se
e
são ortogonais (produto interno zero) e se são linearmente independentes (única combinação trivial).
Passo 2
Duas funções são ortogonais se
. Calculamos:
Usamos a substituição ou a identidade
:
Logo, são ortogonais.
Passo 3
Para independência linear, suponha
para todo
. Avaliando em
dá
. Em
dá
. Assim, a única solução é
, o que mostra que são linearmente independentes.
Resposta
a. Sim, são ortogonais; b. Sim, são linearmente independentes.