Seja C^o([0, pi]) o conjunto das funções contínuas de [0, pi] em R com o seguinte produto interno : =integral0^pi f(x) g(x) d x.
a. os vetores sen(x) e cos (x) são ortogonais?
b. os vetores sen(x) e cos (x) são linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial de funções contínuas em [0,π] com o produto interno lang<= f,grang<==integral0^pi f(x)g(x),dx. As questões são: verificar se sin(x) e cos(x) são ortogonais (produto interno zero) e se são linearmente independentes (única combinação trivial).

Passo 2

Duas funções são ortogonais se lang<= f,grang<==0. Calculamos:
lang<=sin(x),cos(x)rang<==integral0^pisin(x)cos(x),dx
Usamos a substituição ou a identidade 2sin(x)cos(x)=sin(2x):
integral0^pisin(x)cos(x),dx=12integral0^pisin(2x),dx=12l[-tfrac12cos(2x)r]0^pi=0
Logo, são ortogonais.

Passo 3

Para independência linear, suponha asin(x)+bcos(x)=0 para todo x. Avaliando em x=0 b=0. Em x=pi/2 a=0. Assim, a única solução é a=b=0, o que mostra que são linearmente independentes.

Resposta

a. Sim, são ortogonais; b. Sim, são linearmente independentes.

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