Dado
o conjunto de todas as sequências com
, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
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O conjunto das séries de Cauchy, ou seja, as sequencias tais que dado
existe
tal que
para
.
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Passo 1
Vamos considerar o espaço vetorial
cujos vetores são sequências reais e a parte candidata a subespaço é o conjunto
de todas as sequências de Cauchy, ou seja, aquelas que satisfazem: dado
existe
tal que
para todo
. Para mostrar que
é subespaço, precisamos verificar três coisas: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que a sequência zero
está em
. Dado qualquer
, para todos
temos
. Logo a sequência zero é Cauchy.
Passo 3
Sejam
e
duas sequências de Cauchy. Dado
, como cada uma é Cauchy, existem
e
tais que
e
sempre que
passam do seu respectivo
. Tomando
, para
vale
Isso mostra que
também é Cauchy, provando a clausura sob soma.
Passo 4
Agora seja
em
e
. Dado
, como
é Cauchy existe
tal que
para
(se
, qualquer
serve). Então, para
,
Logo
é Cauchy, mostrando a clausura sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como todas as três condições (vetor zero, soma e multiplicação escalar) estão satisfeitas, concluímos que o conjunto das sequências de Cauchy é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto das sequências de Cauchy é um subespaço de
.