Dado K^infty o conjunto de todas as sequências com ai in K, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
Nos próximos itens K=R O conjunto das séries de Cauchy, ou seja, as sequencias tais que dado epsilon>0 existe N>0 tal que n, m>N para .

Passo 1

Vamos considerar o espaço vetorial R^infty cujos vetores são sequências reais e a parte candidata a subespaço é o conjunto M de todas as sequências de Cauchy, ou seja, aquelas que satisfazem: dado epsilon>0 existe N tal que |xn-xm| para todo n,m>N. Para mostrar que M é subespaço, precisamos verificar três coisas: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que a sequência zero 0=(0,0,0,dots) está em M. Dado qualquer epsilon>0, para todos n,m temos |0-0|=0. Logo a sequência zero é Cauchy.

Passo 3

Sejam (xn) e (yn) duas sequências de Cauchy. Dado epsilon>0, como cada uma é Cauchy, existem N1 e N2 tais que |xn-xm| e |yn-ym| sempre que n,m passam do seu respectivo Ni. Tomando N=max(N1,N2), para n,m>N vale
|(xn+yn)-(xm+ym)|<=|xn-xm|+|yn-ym|
Isso mostra que (xn+yn) também é Cauchy, provando a clausura sob soma.

Passo 4

Agora seja (xn) em M e alphain R. Dado epsilon>0, como (xn) é Cauchy existe N tal que |xn-xm| para n,m>N (se alpha=0, qualquer N serve). Então, para n,m>N,
|alpha xn-alpha xm|=|alpha|,|xn-xm|<|alpha|cdotepsilon|alpha|=epsilon
Logo (alpha xn) é Cauchy, mostrando a clausura sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como todas as três condições (vetor zero, soma e multiplicação escalar) estão satisfeitas, concluímos que o conjunto das sequências de Cauchy é um subespaço de R^infty.

Resposta

O conjunto das sequências de Cauchy é um subespaço de R^infty.

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