Dado K^infty o conjunto de todas as sequências com ai in K, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
Nos próximos itens K=R As sequências tais que

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de todas as sequências reais (an)n=1^infty tais que sumn=1^infty|an| (o espaço ell^1) é um subespaço de R^infty. Vamos usar teoria de espaços vetoriais: para ser subespaço basta mostrar que o zero está no conjunto, que ele é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Em primeiro lugar, o vetor nulo da reta infinita é a sequência (0,0,0,dots). Calculamos
sumn=1^infty|0| = 0 < infty,
logo o vetor zero pertence ao conjunto.

Passo 3

Agora, sejam duas sequências (an) e (bn) em ell^1. Então
sumn=1^infty|an| < infty, sumn=1^infty|bn| < infty
Pela desigualdade triangular temos
sumn=1^infty|an + bn| <= sumn=1^infty(|an| + |bn|) = sumn=1^infty|an| + sumn=1^infty|bn| < infty
Isso mostra que (an+bn) também está em ell^1, garantindo fechamento pela soma.

Passo 4

Por fim, seja alphainR e (an)inell^1. Então
sumn=1^infty|alpha an| = |alpha| sumn=1^infty|an| < infty,
pois sum|an| e |alpha|. Logo (alpha an)inell^1, mostrando fechamento pela multiplicação escalar.

Passo 5

Como o conjunto contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que ele é um subespaço de R^infty.

Resposta

O conjunto das sequências com sumn=1^infty|an| é de fato um subespaço de R^infty.

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