Dado
o conjunto de todas as sequências com
, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
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As sequências tais que
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de todas as sequências reais
tais que
(o espaço
) é um subespaço de
. Vamos usar teoria de espaços vetoriais: para ser subespaço basta mostrar que o zero está no conjunto, que ele é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Em primeiro lugar, o vetor nulo da reta infinita é a sequência
. Calculamos
logo o vetor zero pertence ao conjunto.
Passo 3
Agora, sejam duas sequências
e
em
. Então
Pela desigualdade triangular temos
Isso mostra que
também está em
, garantindo fechamento pela soma.
Passo 4
Por fim, seja
e
. Então
pois
e
. Logo
, mostrando fechamento pela multiplicação escalar.
Passo 5
Como o conjunto contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que ele é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto das sequências com
é de fato um subespaço de
.