Seja T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x-y-z).
a. T é uma transformação linear?
b. T é injetora?
c. Calcular T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1) e achar Im(T).
d. T é sobrejetora?
e. Achar Ker(T) e calcular dim(Ker(T)).

Passo 1

Estamos com a transformação T: R^3to R^2 dada por T(x,y,z)=(x+y+z,;2x-y-z). O conteúdo é transformação linear em espaços vetoriais, e vamos precisar usar definição de transformações lineares, verificar núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, use a propriedade de matriz. Podemos escrever T como T(v)=A,v onde
A=1&1&12&-1&-1,
o que garante já de cara que T respeita adição e multiplicação escalar. Logo, T é linear.

Passo 3

Para checar injetividade, calculamos o núcleo: resolvemos
x+y+z=0,2x-y-z=0
Somando as duas equações: 3x=0 x=0. Substituindo em x+y+z=0 obtém-se y=-z, ou seja
ker(T)=(0,-z,z):zin R=span(0,-1,1),
que não é só o zero, logo T não é injetora.

Passo 4

Agora calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(1+0+0,,2cdot1-0-0)=(1,2),
T(0,1,0)=(0+1+0,,0-1-0)=(1,-1),
T(0,0,1)=(0+0+1,,0-0-1)=(1,-1)
Então
Im(T)=span(1,2),(1,-1)
Como esses dois vetores são linearmente independentes (determinante -1-2=-3 não nulo), eles geram R^2.

Passo 5

Como Im(T)= R^2 e o contradomínio de T também é R^2, concluímos que T é sobrejetora.

Passo 6

Já achamos o núcleo anteriormente: ker(T)=span(0,-1,1) e, portanto, dim(ker(T))=1.

Resposta

a) Sim, T é linear. b) Não, T não é injetora. c) T(1,0,0)=(1,2), T(0,1,0)=(1,-1), T(0,0,1)=(1,-1) e Im(T)= R^2. d) Sim, T é sobrejetora. e) ker(T)=span(0,-1,1) e dim(ker(T))=1.

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