Seja
tal que
.
a.
é uma transformação linear?
b.
é injetora?
c. Calcular
e achar
.
d.
é sobrejetora?
e.
e calcular
.
a.
b.
c. Calcular
d.
e.
Passo 1
Estamos com a transformação T:
dada por
. O conteúdo é transformação linear em espaços vetoriais, e vamos precisar usar definição de transformações lineares, verificar núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, use a propriedade de matriz. Podemos escrever T como
onde
o que garante já de cara que T respeita adição e multiplicação escalar. Logo, T é linear.
Passo 3
Para checar injetividade, calculamos o núcleo: resolvemos
Somando as duas equações:
dá
. Substituindo em
obtém-se
, ou seja
que não é só o zero, logo T não é injetora.
Passo 4
Agora calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
Então
Como esses dois vetores são linearmente independentes (determinante
não nulo), eles geram
.
Passo 5
Como
e o contradomínio de T também é
, concluímos que T é sobrejetora.
Passo 6
Já achamos o núcleo anteriormente:
e, portanto,
.
Resposta
a) Sim, T é linear. b) Não, T não é injetora. c)
,
,
e
. d) Sim, T é sobrejetora. e)
e
.