Seja R^2 munido do produto interno u=(2,1).
a. Sejam |u|,|v| e u. Calcular v e o angulo entre E^perp e .
b. Seja . Determinar .

Passo 1

O enunciado pede para, na parte (a), calcular as normas de dois vetores em R^2 com o produto interno usual e depois o ângulo entre eles. Na parte (b), temos uma reta E definida por x+2y=0 e precisamos achar seu complementar ortogonal E^perp. Vamos usar definições de norma, produto interno e subespaço ortogonal.

Passo 2

Para calcular a norma de um vetor u=(x,y) no produto interno padrão, usamos
No nosso caso,
|u|=raiz=raizx^2+y^2
|u|=raiz2^2+1^2=raiz5,

Passo 3

O cosseno do ângulo theta entre u e v vem da fórmula
Aqui
Logo,
costheta=|u|,|v|
Isso dá
=2cdottfrac13+1cdot1=tfrac23+1=tfrac53

Passo 4

Para achar E^perp, lembramos que E é uma reta de direção dada pelos vetores (x,y) que satisfazem x+2y=0. Um gerador de E é (-2,1). O complementar ortogonal E^perp é o conjunto de todos os vetores ortogonais a (-2,1), ou seja,
Seja E^perp=win R^2:=0 . A condição w=(a,b)
=0
Logo, todos os vetores de -2a+1cdot b=0Longrightarrow b=2a são múltiplos de E^perp.

Resposta

Parte (a): |u|=raiz5, |v|=raiz103 e o ângulo é theta=pi4. Parte (b): E^perp=t(1,2):tin R

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