Dado
o conjunto de todas as sequências com
, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
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As sequências limitadas.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de sequências limitadas é um subespaço do espaço vetorial de todas as sequências reais com operações coordenada a coordenada. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e subespaços, e vamos precisar checar três propriedades: presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos mostrar que a sequência zero
está no conjunto. De fato, ela é limitada pois
. Assim, o conjunto não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, peguemos duas sequências limitadas
e
. Por definição existem constantes
tais que
e
para todo
. Então para a soma vale
Passo 4
Isso prova que
também é limitada, garantindo o fechamento sob soma.
Passo 5
Agora, peguemos um escalar
e uma sequência limitada
com
. Então
Passo 6
Isso mostra que
é limitada e garante o fechamento sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto de sequências limitadas é, de fato, um subespaço de
.