Dado K^infty o conjunto de todas as sequências com ai in K, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços:
Nos próximos itens K=R As sequências limitadas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de sequências limitadas é um subespaço do espaço vetorial de todas as sequências reais com operações coordenada a coordenada. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e subespaços, e vamos precisar checar três propriedades: presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos mostrar que a sequência zero (0,0,0,dots) está no conjunto. De fato, ela é limitada pois supi|0|=0. Assim, o conjunto não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, peguemos duas sequências limitadas (xi) e (yi). Por definição existem constantes Mx,My tais que |xi|<= Mx e |yi|<= My para todo i. Então para a soma vale
|xi+yi|<=|xi|+|yi|<= Mx+My

Passo 4

Isso prova que (xi+yi) também é limitada, garantindo o fechamento sob soma.

Passo 5

Agora, peguemos um escalar cinR e uma sequência limitada (xi) com |xi|<= Mx. Então
|c,xi|=|c|,|xi|<=|c|,Mx

Passo 6

Isso mostra que (c,xi) é limitada e garante o fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de sequências limitadas é, de fato, um subespaço de R^infty.

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