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a) Prove que os únicos subespaços de
, são o próprio
e o subespaço nulo
b) Prove que todos os subespaços de
são o próprio
, o subespaço nulo ou o subespaço consistindo de um múltiplo de um vetor fixo em
.
c) Quais são todos os subespaços de
?
a) Prove que os únicos subespaços de
b) Prove que todos os subespaços de
c) Quais são todos os subespaços de
Passo 1
O enunciado pede para classificar todos os subespaços de
, de
e de
. Vamos usar a definição de subespaço: é um conjunto
tal que (i)
, (ii) se
então
, e (iii) se
e
então
. Também vamos usar o conceito de base e dimensão para organizar a classificação.
Passo 2
Para
: seja
um subespaço. Se
, já temos o subespaço nulo. Caso contrário, existe
com
. Como
é fechado em multiplicação por escalar, para todo
vale
. Mas o conjunto
é exatamente
, pois
permite atingir qualquer real. Logo
.
Passo 3
Para
: seja
um subespaço não trivial. Se
ou
já temos dois casos. Caso
não seja nenhum desses, existe um vetor não nulo
. Então o conjunto
é um subespaço de dimensão 1 contido em
. Se
contivesse outro vetor
que não seja múltiplo de
, então
e
seriam linearmente independentes, e sua combinação geraria
. Como
é fechado em soma e escalar, isso forçaria
. Caso contrário, não há outro vetor além dos múltiplos de
e então
é exatamente a reta (1-dimensional) gerada por
.
Passo 4
Para
: qualquer subespaço
tem uma base finita e sua dimensão
pode ser 0, 1, 2 ou 3. Se
então
. Se
então
. Se
, escolhemos um vetor não nulo
da base e
, isto é, uma reta passando pela origem. Se
, escolhemos dois vetores independentes
e
, uma superfície plana passando pela origem.
Passo 5
A conclusão geral é que todo subespaço de
é, além de
e
, ou uma reta através da origem ou um plano através da origem.
Resposta
a) Apenas
e
. b) Apenas
,
ou uma reta
para algum
. c) Apenas
,
, ou subespaços de dimensão 1 (retas pelo origem) ou dimensão 2 (planos pelo origem).