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a) Prove que os únicos subespaços de R, são o próprio R e o subespaço nulo
b) Prove que todos os subespaços de R^2 são o próprio R^2, o subespaço nulo ou o subespaço consistindo de um múltiplo de um vetor fixo em R^2.
c) Quais são todos os subespaços de R^3 ?

Passo 1

O enunciado pede para classificar todos os subespaços de R, de R^2 e de R^3. Vamos usar a definição de subespaço: é um conjunto W tal que (i) 0in W, (ii) se u,vin W então u+vin W, e (iii) se vin W e alphainR então alpha vin W. Também vamos usar o conceito de base e dimensão para organizar a classificação.

Passo 2

Para R: seja WsubseteqR um subespaço. Se W=0, já temos o subespaço nulo. Caso contrário, existe xin W com xneq0. Como W é fechado em multiplicação por escalar, para todo alphainR vale alpha xin W. Mas o conjunto alpha x:alphainR é exatamente R, pois xneq0 permite atingir qualquer real. Logo W=R.

Passo 3

Para R^2: seja WsubseteqR^2 um subespaço não trivial. Se W=0 ou W=R^2 já temos dois casos. Caso W não seja nenhum desses, existe um vetor não nulo vin W. Então o conjunto alpha v:alphainR é um subespaço de dimensão 1 contido em W. Se W contivesse outro vetor u que não seja múltiplo de v, então u e v seriam linearmente independentes, e sua combinação geraria R^2. Como W é fechado em soma e escalar, isso forçaria W=R^2. Caso contrário, não há outro vetor além dos múltiplos de v e então W é exatamente a reta (1-dimensional) gerada por v.

Passo 4

Para R^3: qualquer subespaço WsubseteqR^3 tem uma base finita e sua dimensão dim W pode ser 0, 1, 2 ou 3. Se dim W=0 então W=0. Se dim W=3 então W=R^3. Se dim W=1, escolhemos um vetor não nulo v da base e W=alpha v:alphainR, isto é, uma reta passando pela origem. Se dim W=2, escolhemos dois vetores independentes v1,v2 e W=alpha v1+beta v2:alpha,betainR, uma superfície plana passando pela origem.

Passo 5

A conclusão geral é que todo subespaço de R^3 é, além de 0 e R^3, ou uma reta através da origem ou um plano através da origem.

Resposta

a) Apenas 0 e R. b) Apenas 0, R^2 ou uma reta alpha v:alphainR para algum vneq0. c) Apenas 0, R^3, ou subespaços de dimensão 1 (retas pelo origem) ou dimensão 2 (planos pelo origem).

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