Dado
um espaço vetorial
dimensional e
um subespaço
-
dimensional. Prove que existem um número finito de funcionais
tal que
.
dimensional. Prove que existem um número finito de funcionais
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
de dimensão
com um subespaço
de dimensão
, podemos achar exatamente
funcionais lineares em
cuja interseção dos núcleos seja
. Isso usa conteúdo de dimensão de subespaços, bases e dualidade de espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma base de
. Como
, existem vetores
linearmente independentes que formam base de
.
Em seguida, completamos essa base para uma base de . Como
, podemos encontrar vetores
tais que
Em seguida, completamos essa base para uma base de
é base de
Passo 3
Agora definimos os funcionais
pela ação sobre essa base estendida: para cada
,
Passo 4
onde
é o delta de Kronecker. Isso garante que cada
seja linear e que seus valores sejam exatamente as coordenadas na direção de
.
Finalmente, mostramos que o conjunto é igual a
. De fato, um vetor
tem coeficientes nulos nas direções
se e somente se pertence ao span de
, que é
.
Finalmente, mostramos que o conjunto
Resposta
Escolhendo base
de
e completando-a para base de
com
, e definindo os funcionais em
por
temos exatamente
o que conclui a prova.