Dado L um espaço vetorial n dimensional e M subset L um subespaço m -
dimensional. Prove que existem um número finito de funcionais f1, ldots, fn-m in L^* tal que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial L de dimensão n com um subespaço M de dimensão m, podemos achar exatamente n-m funcionais lineares em L^* cuja interseção dos núcleos seja M. Isso usa conteúdo de dimensão de subespaços, bases e dualidade de espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma base de M. Como dim M=m, existem vetores v1,dots,vm linearmente independentes que formam base de M.
Em seguida, completamos essa base para uma base de L. Como dim L=n, podemos encontrar vetores w1,dots,wn-m tais que
v1,dots,vm,w1,dots,wn-m
é base de L.

Passo 3

Agora definimos os funcionais f1,dots,fn-min L^* pela ação sobre essa base estendida: para cada i=1,dots,n-m,
fi(vj)=0(1<= j<= m), fi(wk)=de

Passo 4

onde de é o delta de Kronecker. Isso garante que cada fi seja linear e que seus valores sejam exatamente as coordenadas na direção de wi.
Finalmente, mostramos que o conjunto lin Lmid f1(l)=cdots=fn-m(l)=0 é igual a M. De fato, um vetor lin L tem coeficientes nulos nas direções w1,dots,wn-m se e somente se pertence ao span de v1,dots,vm, que é M.

Resposta

Escolhendo base v1,dots,vm de M e completando-a para base de L com w1,dots,wn-m, e definindo os funcionais em L^* por
fi(vj)=0,;fi(wk)=de
temos exatamente
M=lin Lmid f1(l)=cdots=fn-m(l)=0,
o que conclui a prova.

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