Dado
, a dim (im
) é chamado de posto de
(o posto de
é denotado
). Prove que:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para aplicações lineares
, vale a desigualdade
. Aqui o conteúdo chave é a relação entre o posto (dimensão da imagem) e a dimensão da soma de subespaços.
Passo 2
Vamos provar primeiro que qualquer vetor em
pode ser escrito como soma de um vetor em
e um vetor em
. De fato, dado
, existe
tal que
Aqui
Isso mostra
Passo 3
Usando a teoria de dimensão de soma de subespaços: se
e
são subespaços de
, então
Passo 4
Agora, aplicando isso a
e
, e lembrando que o posto de uma aplicação
é
, temos