Dado tau: V W, a dim (im (tau))) é chamado de posto de tau (o posto de tau é denotado rk(tau) ). Prove que:
Se tau, sigma in L(U, V) então rk(tau+sigma) <= rk(tau)+rk(sigma).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para aplicações lineares tau,sigma: Uto V, vale a desigualdade rk(tau+sigma)<= rk(tau)+rk(sigma). Aqui o conteúdo chave é a relação entre o posto (dimensão da imagem) e a dimensão da soma de subespaços.

Passo 2

Vamos provar primeiro que qualquer vetor em Im(tau+sigma) pode ser escrito como soma de um vetor em Im,tau e um vetor em Im,sigma. De fato, dado vinIm(tau+sigma), existe uin U tal que
(tau+sigma)(u)=tau(u)+sigma(u)
Aqui tau(u)inIm,tau e sigma(u)inIm,sigma, logo
v=(tau+sigma)(u)inIm,tau+Im,sigma
Isso mostra
Im(tau+sigma)subseteqIm,tau+Im,sigma

Passo 3

Usando a teoria de dimensão de soma de subespaços: se X e Y são subespaços de V, então
dim(X+Y)=dim X+dim Y-dim(Xcap Y)<=dim X+dim Y

Passo 4

Agora, aplicando isso a X=Im,tau e Y=Im,sigma, e lembrando que o posto de uma aplicação alpha é rk(alpha)=dim(Im,alpha), temos
rk(tau+sigma)=dimIm(tau+sigma)<=dim(Im,tau+Im,sigma)<=dimIm,tau+dimIm,sigma=rk(tau)+rk(sigma)

Resposta

rk(tau+sigma)<= rk(tau)+rk(sigma)

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