Dado S um subespaço de V. e seja V / S uma base para S, como você construiria a partir dessa base uma base para .

Passo 1

A ideia geral é: a gente tem um subespaço S de V com base s1, dots, sn e quer encontrar uma base para o espaço quociente V/S. Vamos usar o fato de que a dimensão de V/S é dim V - dim S e que podemos completar a base de S a uma base de V.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de espaço quociente: cada elemento de V/S é uma classe lateral v + S = v + s : s in S. Para formar uma base, precisamos de vetores cujas classes laterais sejam linearmente independentes e gerem V/S.

Passo 3

Agora, estende a base de S a uma base de V. Ou seja, encontra vetores vn+1,dots,vn+k em V tais que
s1,dots,sn, vn+1,dots,vn+k
seja uma base de V. Aqui k = dim V - dim S.

Passo 4

Por fim, mostre que as classes laterais desses vetores extras formam uma base de V/S. Em outras palavras,
vn+1 + S,dots, vn+k + S
é uma base de V/S. A independência linear vem da independência dos vn+i modulo S, e a geração vem do fato de qualquer v+S poder ser escrito usando essa base estendida.

Resposta

A base para V/S é dada pelas classes laterais dos vetores que completam a base de S a uma base de V, ou seja, vn+1+S, dots, vn+k+S onde os vn+i satisfazem que s1,dots,sn,vn+1,dots,vn+k é base de V.

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