Dado
um subespaço de
. e seja
uma base para S, como você construiria a partir dessa base uma base para
.
Passo 1
A ideia geral é: a gente tem um subespaço S de V com base
e quer encontrar uma base para o espaço quociente
. Vamos usar o fato de que a dimensão de
é
e que podemos completar a base de S a uma base de V.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de espaço quociente: cada elemento de
é uma classe lateral
. Para formar uma base, precisamos de vetores cujas classes laterais sejam linearmente independentes e gerem
.
Passo 3
Agora, estende a base de S a uma base de V. Ou seja, encontra vetores
em V tais que
seja uma base de V. Aqui
.
Passo 4
Por fim, mostre que as classes laterais desses vetores extras formam uma base de
. Em outras palavras,
é uma base de
. A independência linear vem da independência dos
modulo S, e a geração vem do fato de qualquer
poder ser escrito usando essa base estendida.
Resposta
A base para
é dada pelas classes laterais dos vetores que completam a base de S a uma base de V, ou seja,
onde os
satisfazem que
é base de V.