Dado tau: V W, a dim (im (tau))) é chamado de posto de tau (o posto de tau é denotado rk(tau) ). Prove que:
Se tau, sigma in L(V) e tau é invertível então rk(sigma tau)=rk(tau sigma)=rk(sigma).

Passo 1

Estamos em L(V), o posto de um operador linear T é definido como rk(T)=dim(Im(T)). Aqui temos tau invertível (logo bijetivo) e sigma arbitrário, e queremos mostrar que a dimensão da imagem não muda quando compomos com tau à direita ou à esquerda.

Passo 2

Para sigmatau: como tau é invertível, ela é sobrejetora, então Im(tau)=V. Daí
Im(sigmatau)=sigma(tau(v)):,vin V=sigma(w):,win V=Im(sigma)
Tomando dimensões,
rk(sigmatau)=diml(Im(sigmatau)r)=diml(Im(sigma)r)=rk(sigma)

Passo 3

Para tausigma: note que Im(tausigma)=tau(sigma(v)):,vin V=taul(Im(sigma)r) Como tau é injetiva, a dimensão de qualquer subespaço é preservada por tau. Ou seja, se Usubseteq V então diml(tau(U)r)=dim(U). Aplicando a U=Im(sigma) temos
rk(tausigma)=diml(Im(tausigma)r)=diml(tau(Im(sigma))r)=diml(Im(sigma)r)=rk(sigma)

Resposta

rk(sigmatau)=rk(tausigma)=rk(sigma).

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