Dado
, a dim (im
) é chamado de posto de
(o posto de
é denotado
). Prove que:
Se
e
é invertível então
.
Se
Passo 1
Estamos em L(V), o posto de um operador linear
é definido como
. Aqui temos
invertível (logo bijetivo) e
arbitrário, e queremos mostrar que a dimensão da imagem não muda quando compomos com
à direita ou à esquerda.
Passo 2
Para
: como
é invertível, ela é sobrejetora, então
. Daí
Tomando dimensões,
Passo 3
Para
: note que
Como
é injetiva, a dimensão de qualquer subespaço é preservada por
. Ou seja, se
então
. Aplicando a
temos