Dado
e
um subespaço de
. Defina a aplicação
por
Quando
está bem definida e é uma aplicação linear? Quais são im
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
e um subespaço
. Queremos definir um operador induzido em quociente
dado por
O conteúdo aqui é espaço quociente e operador induzido, e vamos precisar usar a noção de subespaço invariante por
.
Passo 2
Para que
esteja bem definida, precisamos que se
então
. Note que
implica
, e para ter
. Ou seja, precisamos de
Quando isso vale, qualquer representante de uma classe em
leva à mesma classe imagem, e então
é bem definida e, por herança da linearidade de
, é linear.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto das classes
tais que
isto é,
ou
. Logo
Passo 4
A imagem de
é o conjunto de todas as classes que aparecem como
, com
. Assim
Resposta
A aplicação
está bem definida e é linear se e somente se
(isto é,
é invariável por
). Tem-se