Dado tau in L(V) e S um subespaço de V. Defina a aplicação tau^prime: V / S V / S por
tau^prime(v+S)=tau v+S
Quando tau^prime está bem definida e é uma aplicação linear? Quais são im .

Passo 1

O enunciado dá um operador linear tau:Vto V e um subespaço Ssubseteq V. Queremos definir um operador induzido em quociente tau':V/Sto V/S dado por
tau'(v+S)=tau v+S
O conteúdo aqui é espaço quociente e operador induzido, e vamos precisar usar a noção de subespaço invariante por tau.

Passo 2

Para que tau' esteja bem definida, precisamos que se v+S=v'+S então tau v+S=tau v'+S. Note que v+S=v'+S implica v-v'in S, e para ter tau(v)-tau(v')=tau(v-v')in S. Ou seja, precisamos de
tau(S)subseteq S
Quando isso vale, qualquer representante de uma classe em V/S leva à mesma classe imagem, e então tau' é bem definida e, por herança da linearidade de tau, é linear.

Passo 3

O núcleo de tau' é o conjunto das classes v+S tais que
tau'(v+S)=S,
isto é, tau v+S=S ou tau vin S. Logo
ker(tau')=,v+S: vin V, tau vin S=tau^-1(S)S

Passo 4

A imagem de tau' é o conjunto de todas as classes que aparecem como tau v+S, com vin V. Assim
im(tau')=tau v+S:vin V=im(tau)+SS

Resposta

A aplicação tau' está bem definida e é linear se e somente se tau(S)subseteq S (isto é, S é invariável por tau). Tem-se
ker(tau')=tau^-1(S)S,
im(tau')=im(tau)+SS

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