Dado
. Então a aplicação canônica
é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado considera um módulo (ou espaço vetorial) L que se decompõe em soma direta de submódulos M e N, ou seja, L = M ⊕ N. O objetivo é mostrar que a aplicação canônica φ: M → L/N dada por φ(m) = m + N é um isomorfismo. Para isso vamos usar a definição de soma direta e as propriedades do módulo quociente.
Passo 2
Definimos a projeção canônica π: L → L/N por π(ℓ) = ℓ + N. A aplicação φ é simplesmente a restrição de π ao submódulo M, ou seja,
[
φ: M → L/N,
φ(m) = π(m) = m + N.
]
[
φ: M → L/N,
φ(m) = π(m) = m + N.
]
Passo 3
Para mostrar que φ é homomorfismo de M em L/N basta notar que π é homomorfismo de L em L/N. Logo, para quaisquer m₁,m₂∈M e escalar r, temos φ(m₁ + m₂) = (m₁ + m₂) + N = (m₁ + N) + (m₂ + N) = φ(m₁) + φ(m₂) e φ(r·m₁) = r·m₁ + N = r·(m₁ + N) = r·φ(m₁).
Passo 4
Para verificar a injetividade, observamos o núcleo de φ:
[
ker(φ) = {m∈M \mid m + N = N} = {m∈M \mid m∈N} = M ∩ N.
]
[
ker(φ) = {m∈M \mid m + N = N} = {m∈M \mid m∈N} = M ∩ N.
]
Passo 5
Como L = M ⊕ N, pela definição de soma direta temos M ∩ N = {0}. Logo ker(φ)={0}, e φ é injetora.
Passo 6
Para a sobrejetividade, tomamos um coset qualquer ℓ + N em L/N. Como ℓ ∈ L = M ⊕ N, podemos escrever ℓ = m + n com m∈M e n∈N. Então
[
ℓ + N = (m + n) + N = m + (n + N) = m + N = φ(m).
]
[
ℓ + N = (m + n) + N = m + (n + N) = m + N = φ(m).
]
Passo 7
Assim todo elemento de L/N está na imagem de φ, e φ é sobrejetora. Com φ sendo homomorfismo injetor e sobrejetor, concluímos que φ é um isomorfismo.
Resposta
A aplicação φ: M → L/N, φ(m) = m + N, é isomorfismo.