Seja
o espaço das funções reais contínuas no intervalo fechado [a,b],
e seja
Const[
o espaço das funções constantes em [a,b]
a Prove que Const[
é isomorfo a
b Prove que
é isomorfo ao espaço vetorial das funções continuas em
que se anulam em
.
a Prove que Const[
b Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, no item (a), que o espaço das funções constantes em [a,b], denotado por
, é isomorfo a
, e no item (b) que o quociente
, onde
, é isomorfo ao subespaço de funções contínuas que se anulam em
. Vamos usar teoria de espaços vetoriais, definição de isomorfismo linear e o Teorema do Homomorfismo.
Passo 2
Para (a), definimos a aplicação linear
por
. Como todo
é constante,
para todo
, então
. É fácil ver que
é linear, injetora (se
então
, logo
) e sobrejetora (dado
basta tomar a função constante
). Portanto
é um isomorfismo, mostrando
.
Passo 3
Para (b), vamos construir uma aplicação linear
, onde definimos
, por
Claramente
é contínua e satisfaz
, logo
. Verificamos que
é linear. Além disso,
E a imagem de
é todo
: dado
, basta escolher
(já que
, temos
). Pelo Teorema do Homomorfismo,
Assim mostramos que
, o espaço das funções contínuas que se anulam em
.
Resposta
a) Definindo
por
, obtemos isomorfismo linear, logo
. b) Definindo
por
, temos
e
, logo pelo Teorema do Homomorfismo
.