Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo fechado [a,b], V= C[a, b] e seja W= Const[ a, b] o espaço das funções constantes em [a,b]
a Prove que Const[ a, b] é isomorfo a R
b Prove que V / W é isomorfo ao espaço vetorial das funções continuas em [a, b] que se anulam em a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no item (a), que o espaço das funções constantes em [a,b], denotado por W=Const[a,b], é isomorfo a R, e no item (b) que o quociente V/W, onde V=C[a,b], é isomorfo ao subespaço de funções contínuas que se anulam em a. Vamos usar teoria de espaços vetoriais, definição de isomorfismo linear e o Teorema do Homomorfismo.

Passo 2

Para (a), definimos a aplicação linear phi:WtoR por phi(f)=f(a). Como todo fin W é constante, f(x)=c para todo x, então phi(f)=c. É fácil ver que phi é linear, injetora (se phi(f)=0 então c=0, logo f=0) e sobrejetora (dado rinR basta tomar a função constante f(x)=r). Portanto phi é um isomorfismo, mostrando WsimeqR.

Passo 3

Para (b), vamos construir uma aplicação linear T:Vto C0[a,b], onde definimos C0[a,b]=gin C[a,b]:g(a)=0, por
T(f)=f-f(a)
Claramente T(f) é contínua e satisfaz T(f)(a)=f(a)-f(a)=0, logo T(f)in C0[a,b]. Verificamos que T é linear. Além disso,
ker(T)=fin C[a,b]:T(f)=0=f:f-f(a)=0=funções constantes=W çõ
E a imagem de T é todo C0[a,b]: dado gin C0[a,b], basta escolher f=g (já que g(a)=0, temos T(f)=g). Pelo Teorema do Homomorfismo,
V/ker(T)simeqIm(T)=C0[a,b]
Assim mostramos que V/Wsimeq C0[a,b], o espaço das funções contínuas que se anulam em a.

Resposta

a) Definindo phi:WtoR por phi(f)=f(a), obtemos isomorfismo linear, logo WsimeqR. b) Definindo T:Vto C0[a,b] por T(f)=f-f(a), temos ker(T)=W e Im(T)=gin C[a,b]:g(a)=0, logo pelo Teorema do Homomorfismo V/Wsimeq C0[a,b].

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