Dado
um subespaço de
. O conjunto
é chamado subespaço afim de
.
a Quando um subespaço afim de
é subespaço de
?
b Mostre que dois subespaços afim
e
ou são iguais ou disjuntos.
a Quando um subespaço afim de
b Mostre que dois subespaços afim
Passo 1
O enunciado define o subespaço afim de um espaço vetorial V como um subconjunto da forma v+S, onde S é subespaço de V e v∈V. Precisamos responder: (a) em que condições v+S é de fato um subespaço linear de V; (b) provar que dois subespaços afins da forma x+S e y+S ou coincidem ou não têm pontos em comum.
Passo 2
Para (a), lembramos que um subconjunto W de V é subespaço se e somente se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos usar a condição de conter o zero.
Se v+S for subespaço, então 0⊥v+S, ou seja, existe s∈S tal que
Se v+S for subespaço, então 0⊥v+S, ou seja, existe s∈S tal que
Daí v = -s. Como S é subespaço, -s∈S. Logo v∈S.
Reciprocamente, se v∈S então todo elemento de v+S é da forma v+s com s∈S. Como v∈S, podemos escrever v+s = 0 + (v+s) ∈ S, mostrando que v+S⊆S. E claramente S⊆v+S porque, para cada s∈S, s = v+(s-v) e s-v∈S. Logo v+S = S, que já é subespaço.
Reciprocamente, se v∈S então todo elemento de v+S é da forma v+s com s∈S. Como v∈S, podemos escrever v+s = 0 + (v+s) ∈ S, mostrando que v+S⊆S. E claramente S⊆v+S porque, para cada s∈S, s = v+(s-v) e s-v∈S. Logo v+S = S, que já é subespaço.
Passo 3
Para (b), suponha que
Então existe z em ambos, isto é, z = x + s₁ = y + s₂ com s₁,s₂∈S. Subtraindo, temos
Assim y = x + (s₁ - s₂) ∈ x+S. Isso implica y+S⊆x+S, pois para todo s∈S
Por simetria, x+S⊆y+S, logo x+S = y+S.
Se a interseção for vazia, não há ponto comum e os dois conjuntos são disjuntos. Portanto, dois subespaços afins da forma x+S e y+S ou coincidem (quando têm interseção não vazia) ou são disjuntos.
Se a interseção for vazia, não há ponto comum e os dois conjuntos são disjuntos. Portanto, dois subespaços afins da forma x+S e y+S ou coincidem (quando têm interseção não vazia) ou são disjuntos.
Resposta
a) O subespaço afim v+S é subespaço linear de V se e somente se v∈S, pois nesse caso v+S=S.
b) Dois subespaços afins x+S e y+S satisfazem ou (x+S)∩(y+S)=∅ ou x+S=y+S; de fato, se tiverem um ponto em comum então y−x∈S e daí um inclui o outro, forçando igualdade.
b) Dois subespaços afins x+S e y+S satisfazem ou (x+S)∩(y+S)=∅ ou x+S=y+S; de fato, se tiverem um ponto em comum então y−x∈S e daí um inclui o outro, forçando igualdade.